「深度详解」新加坡特色的数学教学法：Model Drawing 绘图模型法

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今天我们继续来介绍新加坡小学数学基础教育的特色方式："绘图模型"（Model Drawing）

整个东亚圈文化，都有应试教育文化。从日本到韩国，中国、新加坡、印度等等，几乎逃脱不了应试教育的影响。新加坡的应试教育导向也非常明显，来到新加坡后，宝爸看到很多当地政府小学的学生，也看了很多小学的教材和教辅。他们学生的辛苦程度，尤其是好学生的辛苦程度，和中国相比有过之而无不及。在优秀学生的程度水平上，同年级的平均水平和内容难度是超过中国的。

但是新加坡在应试的基础上，又吸收了很多西方的教育思想和教育理念。比如说对数学计算过程的追求，体现了新加坡对学生数学思想的要求。用应试的方式将这种能力固定下来，从小学开始，计算步骤过程就是考试的取分点。选择题、填空题的比例相对要少于中国。数学考试的应用题，小学科学考试的文字回答和叙述题，比例非常之高。

新加坡小学一年级数学练习册中的数学题，需要文字回答并解释。

有人曾经用一句话总结新加坡的"中西合璧"：骨子里是东方人的学习风格，又接轨了西方的语言和学习方式，全英文，难度高于英美，和中国更接近。

与生活结合的数学思维

新加坡小学数学教育的明显特征就是形象化，生活化，这与它的教育部整个教育理念体系是密不可分的。小学四大主课：英文、母语、数学、科学，都是建立在所学知识与生活的关联和应用之上。

在新加坡，老师鼓励学生用画图、工具等任何方式来解题。在扳手指、画图、做统计等等这样的活动过程之中，学习到的是解决实际问题的思维方法，而不只局限于解答具体的题目。

老师的评估过程，也不只关注学生的答案，而是看学生如何用数学思维得出答案的过程。学生思维的逻辑性、连贯度，缜密程度，是否对数据支撑研究的概念，是否能找到问题的变量和核心突破口，做出了哪些假设并验证等等。

小宝在课堂上学习柱状图统计调查

这是典型的探究式学习能力，也是21世纪大多数先进的课程系统（如IB课程）所推崇的教育方式。答案不是目标，追求答案的过程，是学生最大的收获。未来不是靠谁知道的知识多而取胜，电脑的记忆力和存储比人厉害无数倍。未来的学生，需要的是从未知的问题，分析、综合、应用、创造得到结果的能力。

CPA教学法

新加坡有个特色的"三步教学法"，也叫"CPA教学法"。这种教学方法，由美国教育心理学家、认知心理学家Jerome Bruner在60年代最先提出。他经过观察发现，小孩子的学习，往往会经历三个阶段，分别是：

• C - Concrete 具象化
  

• P - Pictorial 形象化

• A - Abstract 抽象化

具象化就是我们数学启蒙的时候经常用实实在在的东西举例子，三个苹果，五个梨子，建立起最初的加减法等初步概念。

之后就可以进入到形象化阶段。形象化也是用图像来学习，但是图像一般会用通用的圆圈啊，方块啊，星星之类的来替。形象化这个过程是孩子们建立起现实世界和抽象世界连接的中间桥梁。他们会感知到用一些图形形象来代替实物的感受。

最后进入数字的抽象化学习。这个过程虽然看起来缓慢，但让孩子们更加容易理解。下面的这张图就清晰地展示了这个过程。

新加坡的数学基础教育的最大特点，就是放大了"P-形象化"这个过程，CPA教学法，三步中的第二步（pictorial，形象化），新加坡就叫"Model Drawing"（绘图模型法）。

绘图模型法的两个核心概念

在绘图模型（Model Drawing）法中，基本上有两个概念构成了所有进一步迭代的基础。

部分和整体的概念

在这个概念中，孩子从理解部件之间的关系开始。一旦理解，他们可以用矩形块来表示这些关系来模拟数学问题。

让我们来看一个例子，以更好地理解零件整体概念如何工作。在下图中，孩子开始学习如何添加单个球来理解3 +2 = 5的简单加法问题。在这个阶段，使用像球这样的真实图像来让孩子连接点是很重要的。

一旦孩子了解了上述情况，我们可以拿出球并使用块作为表示。以下是如何绘制图像。一旦孩子接受这些块作为表示，他或她将处于理解进一步抽象的好位置。

在上述之后，我们可以更进一步，以更抽象的词语形象化问题。在这里，我们不需要单独的块。相反，只是3和2之间的视觉差异足以表示块之间的关系。

总之，这种方法利用各部分之间的关系让儿童了解整体情况。

改变的概念

变化概念帮助孩子理解加减概念。我们来看一个减法的例子。在下面的例子中，我们教孩子如何从3减1，即3-1 = 2。再次，我们通过使用逼真的对象开始数学模型。

一旦孩子与减去相似，我们可以继续使用更抽象的表示。在这一步中，我们用块替换对象。

在最后一步中，用较大的块替换单个块。这为未来所有问题奠定了基础，在这些问题中，孩子可以使用更大的块来呈现可以增加或减少的项目。

这将帮助您的孩子看到问题总和问题的变化答案。

基本模型的应用

看起来是不是很简单？说实话，我们刚开始接触也感觉这个我们自己也能教啊，我们自己做题有时候也用这个方法啊。但是如果要我们坚持让孩子们每一个题目都想办法用Model Drawing来做，我们可能也会感觉没有必要，太繁琐了。

这就是东方思维和西方思维的差异体现之一。东方人喜欢掌握技巧，并在掌握之后研究更多其他方法继续提高效率。而西方人脑筋都比较"直"，喜欢一根筋一直研究一个方法到极致。大家如果看过西方的教科书或者我们前面提到的新加坡的练习册就知道，他们都是把读者当成"傻子"来对待的。让每个人都能有通过书自学的能力。

在熟悉了上面的基本模型后，继续使用它们来解决不同类型的数学问题。

分数

分数可以用部分整体概念表示。

"彼得正在卖铅笔。他在早上卖掉了3/5，其余的在下午卖掉了1/4。如果彼得在早上比下午多出售200支铅笔，彼得一开始有多少支铅笔？"

为了解决这个问题，我们将使用部分整体概念来绘制下面的数学模型。首先，画出5个相同的块并将其中的3个代表3/5。

第1步：彼得早上卖掉了3/5的铅笔

接下来，将无阴影部分分成4部分，用其他颜色遮盖其中一部分，以显示其余部分的1/4

第2步：彼得在下午卖掉了剩余的四分之一

第三步是通过将1个红色阴影框切成2来使所有方框相等，如下所示。

第3步：使所有的箱子大小相同

第四步是计算每个盒子代表多少支铅笔。问题是，早上还有200支铅笔正在销售。在这种情况下，200等于5个红色框，因为早上还有5个阴影框。所以，每个盒子= 200/5 = 40。

第4步：计算每个盒子代表的铅笔数量

最后一步是计算铅笔的总数。由于共有10个盒子，问题的答案是40 * 10 = 400铅笔。最终的数学模型将如下所示：

第5步：计算铅笔总数

比率

对于学习比率，您可以使用零件整体概念或更改概念。在这里的例子中，我们将使用更改概念。

"艾米和凯伦的钱的比例是5：3。艾米花了她一半的钱后，她的收入比克伦少了15元。两个女孩在一开始的总金额是多少？"

第一步是绘制比率。

步骤1：艾米和凯伦的钱的比例是5：3

下一步是在艾米花掉她的一半钱后画出图表。

第2步：艾米花了她的一半钱后艾米和凯伦的钱的比例

第三步是遮蔽代表艾米和凯伦钱之间区别的区块。

步骤3：遮蔽代表两个女孩之间钱差异的块

这个问题告诉我们，黑色阴影块=两个女孩的钱差额= 15元。换句话说，我们现在知道1/2块= 15元。因此，1块= 30元。这可以从下面的图片中看出。

第4步：找到每个块的值

最后一步是计算两个女孩在开始时的总金额。从第一步开始，我们知道共有8个街区。所以答案是8 * 30元= 240元。

小数

让我们通过最后一个问题总和来看看如何使用小数的数学模型。

"玛丽在购物前有15美元。买了5个相同的铅笔盒后，她只剩下9美元。每个铅笔盒花费多少钱？"

这个问题具有前后时间的概念，因此适合使用变更概念。

步骤1：玛丽购物前购物满$ 15，购物满$ 9

下一步是显示前后之间的差异可以用5个方块来表示（以说明5个铅笔盒）

第2步：将笔盒代表5个块

问题告诉我们5个铅笔盒是相同的。因此，要找到一个铅笔盒的价格，我们只需要考虑前后的差价，即15元-9元= 6元，然后再除以5个铅笔盒。这给我们$ 6/5 = $ 1.2。这可以由下面的最终数学模型来表示。

第3步：计算1个笔盒的成本

组合应用

绘图模型法在有些问题的使用上略显繁琐，但在某些问题上会事半功倍。小朋友们在学习代数方法之前，很多时候就可以利用绘图法来解决复杂问题。比如下面这题，大朋友们看看不设未知数的话，自己能否做出来？

Mimi商店早上卖了24棵生菜，下午又卖了剩下生菜的2/7。最后剩下的生菜数量是早晨开店前的1/2。问早晨开店前有多少棵生菜？

解决方法可以看下面这个2分钟的小视频。即使你不懂英语，看图也是基本上能搞懂了。

视频加载中...

中国数学教育有这个方法吗？

当然有！

毕竟中国的数学水平还是挺高的，每年在IMO国际数学竞赛也是领头羊，再加上十几亿人选拔，什么题目和方法我们没有见过。

只不过中国太大了，学生太多了。不像新加坡这样可以强势、集中的推行一种模式和方法。其实图形解题的方法在中国的数学教育中一直有存在，只是没有赋予它这么高的地位和持续性的要求。把它作为N多种解题方法之一而已，让我们的感受就没有这么强烈。

"玩转数学思维"曾经也讨论过这个问题，为什么图形解题的思路方法现在似乎看到的比较少了。得出的结论是这部分内容很多都转移到奥数学习班教授了，可能这也是减负的代价之一吧？

截屏自数学群的讨论

小学生还处于认知发展的具体运算阶段，说白了就是形象思维发达而抽象逻辑思维还未形成。Model Drawing的形象性，不仅能解题，还提高了学生思维逻辑和解决问题的能力。

为什么我们的小学数学教育会丢掉了这么有用的武器？然后这些被学校"遗忘"的内容让商业机构去操作？值得我们深思。

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