新加坡竞赛题解方程³√(1+x)²/(1−x²)+4³√(1−x)²/(1−x²)=5

题一、
解方程³√((1+x)²/(1−x²))+4³√((1−x)²/(1−x²))=5

分析题目
分析题目，三次根式+分式方程，复杂度很大，常规思路似乎无从下手，因此我们先去分母，再观察分析，即等号两边同时乘以³√(1−x²)得到，
³√((1+x)²)+4³√((1−x)²)-5³√(1−x²)=0

此时我们会发现，前两个三次根式相乘，刚好平方差公式展开就是第三项的三次根式，据此分析，我们直接引入参数p和q，设定，
p=³√(1+x),q=³√(1-x)

则代入原方程后转换得到， → p²−5pq+4q²=0，

可以看出，直接就可以十字相乘法因式分解，分解后得到，
(p−q)(p−4q)=0

两个式子乘积为0，那只能是分别等于0，分情况讨论即可，分两种情况，

情况一：p−q=0，带回参数设定方程，即得到，³√(1+x)=³√(1−x)

很容易立方后解得x=0

情况二：p−4q=0，带回参数设定方程，即得到，即³√(1+x)=4³√(1−x))

两边立方后得到，

1+x=64(1−x) ，则解得x=63/65

参考答案
x=63/65