新加坡竞赛题解方程³√(1+x)²/(1−x²)+4³√(1−x)²/(1−x²)=5
题一、
解方程³√((1+x)²/(1−x²))+4³√((1−x)²/(1−x²))=5
分析题目
分析题目,三次根式+分式方程,复杂度很大,常规思路似乎无从下手,因此我们先去分母,再观察分析,即等号两边同时乘以³√(1−x²)得到,
³√((1+x)²)+4³√((1−x)²)-5³√(1−x²)=0
此时我们会发现,前两个三次根式相乘,刚好平方差公式展开就是第三项的三次根式,据此分析,我们直接引入参数p和q,设定,
p=³√(1+x),q=³√(1-x)
则代入原方程后转换得到, → p²−5pq+4q²=0,
可以看出,直接就可以十字相乘法因式分解,分解后得到,
(p−q)(p−4q)=0
两个式子乘积为0,那只能是分别等于0,分情况讨论即可,分两种情况,
情况一:p−q=0,带回参数设定方程,即得到,³√(1+x)=³√(1−x)
很容易立方后解得x=0
情况二:p−4q=0,带回参数设定方程,即得到,即³√(1+x)=4³√(1−x))
两边立方后得到,
1+x=64(1−x) ,则解得x=63/65
参考答案
x=63/65
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