数学并不只有计算,视觉数学更重要
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作者|川妈&超儿
有句话说的“真好”,直戳老母亲的内心:
“如果说英语是老母亲心里的白月光,那数学真可谓是现实中的蚊子血,躲不开又逃不掉。”
奥数、珠心算、速算.....这些特别项目孩子当然可以选择不学,但从小学到大学的基础数学是怎么也躲不开的。而对我这样以数理见长的老母亲来说,对孩子学好数学又有着别样的“迷思”。
所以,一直苦心钻研各种学习方法和资源。但即使这样,我在小川的数学启蒙上还是犯了错误
。
估计是先前经验的惯性影响,我还是会不由自主地更加重视训练他的“计算能力”。在一段时间里,他很快就熟练掌握了100以内加减法和乘除法。
却在我认为很简单的地方,翻了跟头。之前,他对由小方块堆砌起来的立体图形,常常数不清隐含在背后的块数、辨不清立体图的三视图。
遇到问题就得解决,查了很多资料之后,我才明白自己把数学想简单了,孩子想学好数学,需要的是多元能力。
低年级的算术,和高年级的平面几何、立体几何等高阶段的数学,需要具备的能力根本不一样!
算术要求的是语言能力,而平面、立体几何等依靠的视觉-空间能力,关键两者还互不相关!
在数学教育王者之一的新加坡,数学的技能训练(俗称刷题)被排到了最后;而以培养孩子视觉-空间能力为重点的Visual Math(视觉数学)被放在了关键位置。
它不但是孩子进行高阶数学学习的基础,也是前期数学启蒙的重要方式。
1什么是视觉数学
斯坦福大学的科学家对大脑进行扫描时发现,当人在处理数学问题时,大脑有5个部分在工作,其中有两个部分跟视觉有关(绿色+橙色部分),而不仅仅是对抽象数字的理解、记忆和执行。
视觉数学,顾名思义,就是利用一些具象化的东西,或画图,或教具来呈现数学里的抽象概念,进而学习数学的方法。这是当今非常流行的数学教学方式,在新加坡和美国数学里,都已经有大量的应用。
视觉数学包括两大块内容,分别对应大脑的两个区域,一个负责空间想象和数量统计(比如图一),一个是负责处理图象符号(比如图二)。
图一、需要孩子大脑计算出那些肉眼可见的、以及不可见的方块,然后才能计算数量,可通过教具进行展示。
图二、数学当中的行程问题,用图示方式展现。
其实,这些具象思维能力,孩子天生就有。没有学过加法的孩子,也能说出1个苹果+1个苹果等于2个苹果。
只不过,数学毕竟是一个抽象概念和思维的集合。我们在教孩子数学时,往往忽略了这项基础能力,而过多去追求更加抽象的计算能力。
在走了弯路之后,我开始反思自己教孩子数学的策略和方法,在依然重视锻炼孩子计算能力的同时,着力培育他的视觉-空间能力。
具体怎么做?一种方法,之前就推荐过,新加坡数学(我们的数学教学中也有,只不过他们似乎强调的更多些)倡导的建模方法。
另一种方法,早在教育学家蒙台梭利时代,就被倡议和广泛采用过的——数学教具法。
教具独特的特性(科学性、针对性、可视性、完整性),特别是能够有针对性地帮助孩子理解所讲内容,一直以来在教学中发挥着重要的作用。
蒙台梭利的经典教具固然好,我又找到了一些更加有趣的新版本。为了提高针对性,我还特意买了一整套小学数学课本和义务教育阶段的数学课程标准,根据知识特点和课标要求,又在其中进行了筛选,最终选择了这几个先推荐给大家。
2LR MathLink Cubes
适用年龄:3岁+
对应知识点和数学能力:
初级:认识数字、建立数量关系(分类、归纳、逻辑推理、手眼协调);
中级:比大小、加减法、写个数、测量;
高级:乘除、周长、面积、几何图形拼接及观察三视图(几何空间思维、逻辑推理)。
特点:循序渐进的题卡。
玩法:(因为太多了,举例说明)
1.数的理解
小学课标要求理解万以内数的意义,从十,然后过渡到百、然后到千、万这种大数。
实际教学中,也常常利用图片或教具进行教学。
这套教具里的积木和题卡的结合,能让孩子更加容易地理解大数概念。
2. 运算卡
一年级这样的习题,随处可见。
运算卡的本质其实就是新加坡数学的建模方法,一方面将抽象的数学计算转化为孩子可以看得见的画图模型,更形象、更容易理解;另一方面,又将实物加减转化为有一定抽象程度的数学模型,帮助孩子实现从具象向抽象的转变。
3.图形与几何
“题卡+积木”还可以帮助孩子掌握统计小立方块的数量、面积、周长的方法。
小川之前在进行立体方块统计的时候,就常常用这套教具来帮他建立空间图形,加深理解。
4.逻辑推理、归纳
类似这种归纳推理题,小学一年级频繁出现。
也可以利用这套教具来从小培养。
点评:
这是一套类似乐高积木的教具,囊括了从基本识数到计算、立体、逻辑推理等等广泛的学习内容。最大的有优点就是配有拾级而上的题卡,我们可以根据题卡的顺序,循序渐进地引导孩子进行数学启蒙、更高阶段的学习。
3Saalin TANGRAM七巧板
无论国内国外,从来都不缺七巧板的身影,因为它对孩子逻辑推理、几何图形的理解,实在太重要了!
国内直接把七巧板放在了小学一年级的教材里,甚至在幼升小的题目中,就有七巧板的身影。
适用年龄:一套为3岁+(彩色,各种形状和生活用品);两套为5岁+(同种颜色的动物+彩色人物)。
对应的知识点和数学能力:
数学知识:数数、大小、图形(基本:三角形、正方形、平行四边形)、角、面积、对称、旋转、平移、全等;
数学能力:几何、空间思维、逻辑推理、专注力。
特点:
1.设置关卡,循序渐进。
3岁+和5岁+,三套教具,每套2个难度的level。
从1块的形状到7块的形状拼接和生活用品、动物拼接。
每张题卡的背后都有拼接答案。
颜色从七色过渡到单色,难度升级。
2.学习视频。每个level都对应了教学视频,方便孩子观看、学习。
3.易携带。合上是一本书,打开,左边是题卡,右边是操作版。之前小川出去吃饭的时候,常常间歇就拿出来玩。
4.不易移位。形状保持完整。
玩法:
1.对称+旋转+平移
对于这几个知识点,1~3年级课标都有了具体的要求和实例。
看似简单的7个基本图形,通过看似也不难的平移、旋转,却能变化出数不清的图形,考察的不仅是孩子的图形布局能力,还有逻辑推理能力等等。
我陪小川玩的过程,愈加发现其中的变化多端和深不可测,当然也有妙不可言的成就感和满足感。
2.面积+全等
7~9年级的课标中,明确规定了全等三角形的要求:理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
点评:
在每个孩子的数学几何启蒙中,七巧板是不可或缺的一个教具。这套七巧板,几乎完美吸纳了所有七巧板的优点。在家长的引导下,每个孩子,都可以玩出自己的新花样。
4Geomakers Dive into Shapes
这是一套STEM教具,更是一套妥妥的立体几何教具,对孩子空间想象能力和初步进入几何知识的学习,帮助不小。
适用年龄:5岁+(我认为可以适当低龄,3岁+,孩子可以进行大小的比较,面积大小的比较、周长的比较)
对应的知识点和数学能力:
数学知识:面积大小、立体几何知识、体积的概念;
数学能力:立体空间想象力、专注力、手眼协调。
特点:给我足够的点和线,我就能拼出各种形状的几何体。
1.有长短不一的直线,也有曲线。能拼接不同的立方体。
2.两种不同的球,球上有不同的孔数量,可满足不同的接点。
3.颜色丰富,符合孩子的审美特点。
玩儿法:基础玩法+创造玩法。
基础玩法:孩子可以根据游戏卡的题目,拼搭出不同形状的立方体。前期如果经过七巧板的平面图形拼搭的训练,对孩子转化立体图形拼搭会有很大的帮助。
创造玩法:
首先,对于低龄的小孩子,可以根据平面图形的拼接,了解面积和周长的的概念,并比较其大小。
大正方形套着小正方形,周长和面积,都是外面的大正方形大。
对于大龄的孩子,除了立体的拼搭之外,还可以开拓孩子的想象力,发掘出其他特殊形状的拼接。
点评:
这款不同于封闭的立方块,它的框架性的结构对以后孩子学习立体几何辅助线的添加,会有很大的帮助。
5Base Ten STARTER SET
这套教具,可以说是一套完整的美国数学教辅——立方块+习题集。
适用年龄:6岁+(立方块);3~6年级(习题集),我认为这套教具年龄可以下降到3岁+,习题集可以5岁+。
对应的知识点和能力:
数学知识:算术、位数的理解、分数、倍数、面积、体积;
数学能力:几何、空间思维、手眼协调。
特点:
1.跟中国的数学课标要求基本类似。
美国3-6年级教材可以顺延至中国的1-3年级。
2.立方块+习题集。非常适合学前班和小学阶段的系统性数学学习。
玩儿法:不带习题集(低龄)+ 带习题集(学前班+学龄段)
不带习题集玩法:里面有不同的方块,可以比较大小(顺带可以加上 >、<符号的理解),也可以归类、数数。
带习题集玩法:按照习题集要求的知识点,在教具中具体实现。
1.大数、位数概念的学习
与上文中LR MathLink Cubes类似,就不多赘述了。但是教材中的一个关于大数习题,还是很有意思的(家长可以参照这样的方法,引导孩子学习)。
2.分数(如1/10~1,1/100~1等)+周长+面积
在小学1~3年级的数学课标对分数、周长、面积做了明确要求。
我们可以用这套教具,结合教材,引导孩子理解分数的概念,以及分数的计算。
点评:
亮点是习题集,全英文,但比较容易理解(一边做题,一边还可以学英文)。一些习题设计的非常有意思,比如学习计算以及个十百千时,就会通过拼凑一个动物展开。
6PRof.MaRbles
这是一款培养孩子逻辑推理和空间思维非常有意思的教具,但同时也是一个很多低龄孩子喜欢玩的玩具。
同事家的两岁宝宝,玩的不亦乐乎,同时还在数着1、2、3、4......
适用年龄:官方建议7-99(但是我个人觉得可以放低年龄到2岁+)
对应知识点和能力:
数学知识:数数、建立数字和图形的关系、比较大小、算术、数学排列组合的最短路径问题
数学能力:逻辑推理、空间思维、专注力、规则意识
特点:
1.有游戏规则,孩子通过游戏规则找到最短路径。
在培养孩子一些数学思维能力的同时,也可以培养孩子的规则意识,理解社会上也是有规则存在的。
2.配备题卡,难度循序渐进。
玩儿法:基础玩法(低龄)+规则玩法(7岁以上)
基础玩法:
1.低龄孩子可以进行数数,建立数字抽象和球一一对应关系等,来培养基本的数感。
瓶身上标准了数字,所以引导孩子进行数概念理解的时候,这样更加方便对数字的理解,以及利用高矮,球的多少来建立数字大小的关系。
同事家竟然将其玩成了“弹溜溜球”,孩子也是玩得超级开心。
规则玩法:
1.题卡,共有60道题,前面为题,背面为答案。
2.题目中,箭头前方为原始状态,箭头后为瓶的最终状态。
3.具体规则:
(1)每次倾倒球,两个条件必须满足其一:输出瓶里的球全部倒出或者接收瓶装满;
(2)最短路径,即所需要的步数最少(圆盘为步数计步器)。
视频中详细介绍了最短路径的选择,在选择过程中要经过试错、逻辑推理等能力。
在平常的考试中,最短路径问题非常常见。比如小学三年级奥数和初高中的排列组合问题。
点评:
这是一套适合训练孩子排列组合、逻辑推理能力的教具,从2步路线一直升级到18步路线,难度逐渐升级。
7BLOCK BY BLOCK(堆砌大师)
这是Thinkfun一款非常经典的教具,可以说是立体版的七巧板,利用7块不同的立方积木,组合成N种不同造型。
小川对此特别痴迷,刚拿到的时候,常常一个人玩好久,太烧脑了!我和川爸,也常常陪他一起,燃探寻立体几何的奥秘。不过刚开始的时候,用了10分钟,也才过了2关。
适用年龄:官方建议8岁+,实际4岁+就可以玩(用少量的、简单的积木拼搭)。
对应知识点和能力:
数学知识:三维图向二维图转化、理解三视图、统计
数学能力:逻辑推理、空间思维、专注力、分析问题的能力
特点:
1.两种不同类型的积木——平面型和立体型。这种设计满足了立体空间搭建的基础,也满足了低龄孩子单纯用平面型来搭建。
平面型分4种:T型、L型、Z型,可以展示一个平面或者转角;
立体型有3个:转化成各种转角。
2.易携带、棱角圆润。7个积木放在自带的收纳袋里,可以随时带着玩,旅途就是非常好的时机。
玩法:简易玩法+高级玩法
简易玩法:
(1)通过不同立体积木,可以在前期让孩子先玩平面型积木。
用平面型积木堆起来的床
(2)在题卡的答案中,分为Hint1(4块积木提示)和Hint2(3块积木)
4~6~8岁可以根据7块积木的提示来进行搭建,或者只是根据Hint1或Hint2的部分提示进行搭建。这个搭建的过程,也是空间思维搭建的过程;
8岁+,独立拼接。
当然孩子第一次接触的时候,因为难度比较大,也可以根据这样的顺序,循序渐进地进行。
高级玩法:
1.视觉数学的第一个板块——空间想象、数量统计,其对应的常见考题就是三视图和统计小方块。
三视图
统计方块个数
在这套教具中,随时可以进行上述练习,并画出二维图,加深理解。
2.根据题卡进行训练——空间+推理的实战练习。
试错+推理+返工,是常常要做的。
点评:
这套教具的烧脑,可以说非常明显,但是它对孩子专注度的训练非常好。小川玩它时的专注度和挑战精神,让我有些感动。
8Geometric Solids
这是一套带领孩子认知立体形状和学习体积计算的绝佳教具。
适用年龄:8岁+,可以放宽年龄至4岁+,学前班就已经开始进行立体形状的认知了。
对应知识点和能力:
数学知识:几何体的形状认知、面积关系和计算,三位图形向二维图的转化、三视图
数学能力:空间想象、计算能力、推理
特点:
1.每个几何体均在包装盒背面写明了边长长度,用于体积计算。
2.每个几何体均为敞口、透明设计,可以通过注水、装沙、做软陶模型来理解体积的概念,并比较每个几何体之间的体积大小。
3.6种颜色,符合孩子的审美。
玩法:
1.认知几何体。这在学前班和小学和初中阶段都是常见的问题。
2.建立几何体和平面图形之间的关系。
3.理解体积的概念。在几何体里注水、做软陶模型用以理解体积概念、切面的概念、以及不同几何体的体积关系,然后进一步引导计算。
底面积相等、高相等的情况下,圆锥体积是圆柱体积的1/3。
切面:用软陶做模型,确认圆柱体的切面是四边形。
点评:
知识点含量非常多的一套教具,这也是在美国非常受欢迎的一套教具。细节精致,颜色鲜艳,孩子一见就爱不释手。
好啦,这就是我这次推荐的7套学校教具,它对接了小学数学中一些重要的基础知识点和能力培养点。
更为关键是,它们不抽象、更不枯燥,而是用具象的二维图形、三维立体,将知识展现的淋漓尽致、生动有趣,在“寓教于乐”中潜移默化地锻炼了孩子的视觉-空间能力,培养了他们的数学能力。
《美国科学院院刊》(PNAS)发表过一篇文章说:人类大脑中负责高难度数学问题的区域,与负责基本数感的区域基本相同。
法国认知神经科学家 Stanislas Dehaene的研究, 更是精确定位,就是负责视觉-空间那块区域(双侧顶叶下部)!
无论爱因斯坦一类史诗级人物的伟大发现,还是普娃计算的1+1=2,使用的是同样的大脑区域。
也就是说,我们既要呵护孩子天生的数学能力,又可以通过后天的训练来培养和提升它。
而在这里,“视觉数学”的意义显得愈加非比寻常,而好的方法、好的教具也变得更加必要和重要。
P.S.
我在检索视觉数学资料时,在外网上发现了一套教材,主要是提供给教师使用的,有完整的指导手册、教案和学生活动手册等内容。
目前涵盖了两个阶段的课程,分别面对5-6年级和6-7的学生(美国的年纪划分,我们可以适当降低标准)。有兴趣的亲们可以私信我“资料包”获得完整的资料包(全英文的)。
川妈说说
每次推荐教具、桌游等等,大家问的最多的是“团购吗?”“购买链接在哪里?”
有的时候,真的无能为力,比如两年前就推荐给大家的地产大亨。至今还有朋友留言问啥时组织团购。已经和品牌商直接、反复沟通过了,确定了,不会开团。
不是什么别的原因,只是因为价格,品牌要求我们开团的价格,比他们促销活动时价格还高!我们无法接受,所以请大家趁着618大促去孩之宝官方旗舰店看看吧,99元是我见过的最低价格(我说的是正品行货啊)。
这次可能会不同。推荐的7款教具中,Block by Block(堆砌大师)这周就会组织团购,因为品质价格都已经反复确认过;Saalin Tangram(七巧板)正确协商过程中,团购的概率比较高。
其他的,大家还想要的,点“在看”告诉我,或者留言告诉我具体看重哪些。我不能保证每个都能搞定,但一定会努力。
mom看世界:践行自然教育,追求自然养育,崇尚自然生活,期待更多的姐妹与我携手同行。对啦,目前我在“头条号、公众号”两个平台发布文章,名字均为【mom看世界】,欢迎关注。
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