堆积硬币的数学妙趣

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

自1993年以来，由布鲁内尔大学(Brunel University)、皇家学会(Royal Institution)和伦敦物理研究所(Institute Of Physical)支持的魔术便士信托基金(Magic Penny Trust)一直在开发使用磁铁和电镀硬币的新型科学推广计划。互动式实验不仅与磁学和物理学有关，而且与数学有关。在这里，我描述了Ciencias y Artes Patagonia最近发现的一种特殊的五边形圆紧密堆积阵列Patanon的有趣堆积。这一发现提出了一些耐人寻味的问题，为什么这种基于五角形的圆形阵列似乎很少受到关注，为什么规则的五边形圆紧密堆积的相对直径常数：0.701，即“黑铁比例”，几乎不为人所知。

图1："花生上的科学：来自星光闪烁的巴塔哥尼亚寒冷的南美洲的问候"，由13枚5便士的英国硬币组成的六边形雪花状星形阵列，硬币边缘保持平衡，通过硬币上方框架外的陶瓷块磁铁产生的磁场固定在一起。(大约在同一时间拍摄了一张题为“鞋带上的科学”的姐妹图像，参见[2]。)

这张未经编辑的照片(图1)是为一位天文学家朋友的冬季贺卡拍摄的。他的年龄足够大，知道平装版小册子上的硬币指的是一先令六便士，这是英国曾经的铜镍制的非磁性硬币。今天，一些英国硬币是由镀铜或镀镍的钢制成的，因此是磁性的[1]。

大多数美国读者，特别是来自《星条旗》诞生地巴尔的摩的读者，很快就会明白，尽管书皮上大多数星星的形状（图1）与六边形硬币阵列一致，但只有一颗与国旗上的星星形状相同。美国国旗上的星星是五边形的，具有五重对称性。它们更像图2中的硬币阵列，由与之前相同的5便士硬币组成，但中间的硬币被5个紧密排列的较大的2便士（2p）硬币包围。

图2：英国2便士和5便士硬币在梨子柄上平衡。绝对真实，没胶水，也没ps

英国2便士和5便士硬币的直径分别为25.9毫米（1.02英寸）和18毫米（0.71英寸），比值等于0.694。这与五边形圆紧密堆积的理想比率，即 "黑铁比率 "0.701......在百分之一之内，这是用简单的几何学得出的（见后面）。

当然，对于大多数不经意的观察者来说，这些照片被认为是欺骗、隐藏的胶水或胶带，或者仅仅是“PS”出来的。幸运的是，其他人不那么怀疑，而是真正感到惊讶。“为什么我们在学校不这样做？”"比我们用磁棒、铁屑和回形针做的东西有趣多了."确实！合适的廉价的磁体已经存在了60多年。

美国硬币不具有磁性(除了1943年制造的硬币——战时“小麦便士”，见图3)。然而，钢垫圈、钉子和回形针可以很容易地与现成的陶瓷磁铁进行类似的惊人平衡，这些磁铁都得到了适当的保护，不会碎裂。请参见[1]。

图3：(左和中)：阿根廷的平衡硬币；

(右)欧共体、阿根廷、美国和英国的平衡硬币。

图4：“平衡酒杯上的4枚硬币”和“花生上的科学”的磁铁排列。

巴塔哥尼亚科学与艺术协会现在已经鉴定出来自70个国家的600多种不同的磁性硬币。它们的直径从1981年的新加坡十元(40.5毫米)和1994年的阿根廷五比索(35.0毫米)到1989年的乌拉圭1比索(12.0毫米)不等，如下图所示。静态阵列和旋转阵列的照片和视频已经发表[2]。在这里，我将重点放在六边形和五边形阵列，这些阵列是用陶瓷块磁铁覆盖在非磁性不锈钢上构成的，就像上面使用的那些一样。偶尔，通过将稀土磁体“neo”附着到块上来增强磁场。稍后我将描述使用类似于教学和商业展示中使用的磁性垫子的研究。

基于六边形的竖立阵列

六个半径相等的圆正好可以围绕一个半径相同的圆，这是众所周知的事实。

图5：阿根廷和乌拉圭硬币的六边形排列在边缘上保持平衡，这是因为它们站立在不锈钢覆盖的磁铁上产生的磁场。右边的硬币实际上是12面的，而不是圆形的，这样可以更紧密地排列在一起。

图6：竖立的六边形阵列展示了磁场的力量和三圈接触产生的机械三角形刚性。

由于它们的高堆积密度，大的实心六边形阵列易于构建。168枚德国1芬尼古币悬挂在一个非常强(但有潜在危险)的稀土磁铁上的照片已经公布。

基于五边形的竖立和悬挂阵列

图7：双硬币五边形排列的阿根廷和乌拉圭硬币(左)和双硬币圆形排列的英国2p和5p硬币。在这两种情况下，陶瓷磁体都用“neo”稀土磁体增强。

图8：英国硬币的“诺森伯兰玫瑰”( 1便士、2便士、5便士和10便士共1英镑)和“巴塔哥尼亚玫瑰”,包含阿根廷的现行和旧硬币。两个阵列都可以平衡站立或悬挂，只使用放置在硬币上方和下方的安全陶瓷块磁铁。

将磁垫用于布置和研究阵列

就像大的拼图一样，如果没有把碎片放在一起的凸起和凹槽，就很难完成，所以，除非硬币能暂时放在合适的地方，否则研究硬币的紧密堆积是困难的。磁性垫和磁性硬币克服了这个问题。垫子可以水平放置，也可以贴在木板上垂直支撑。

图9：使用磁性垫和不同大小的硬币，尝试不同中心和堆积风格的双硬币曲线和圆形阵列。

图10：左图：一枚1-5-10-20-20的巴西和英国硬币(内环)环绕着一枚1美分的欧共体硬币。右图：一个大的双硬币五边形阵列，其中许多较小的5p英国硬币是旧的和非磁性的，但被它们周围的磁性2p英国硬币夹持住。

揭开基于五角星的"Patanon"的面纱

图11：贺卡硬币的设计基于一个中心十边形，嵌入一个五边形阵列。

左图：2便士和5便士的英国硬币，一些2便士的硬币覆盖着黄色或红色的粘性塑料，以强调一些十边形阵列。外面的双圈是阿根廷的5分和10分硬币。

右图：图7中使用的阿根廷5分硬币和尺寸与乌拉圭1比索硬币相似的钢垫圈。由于缺少5分硬币，阿根廷5分和10分硬币的外双圈不完整。

圆堆积的研究历史悠久，可以追溯到笛卡尔、开普勒以及更早的时代。最近，主要由于计算机的出现，人们的兴趣又有了强烈的复苏。已经进行了许多研究，涉及不同数量的相同大小的圆或圆盘，或者任何数量的任何大小的圆，如何有效地装入三角形、正方形或圆形。但是似乎很少有人注意到仅仅两个大小的圆是如何填满一个空间的。

去年12月，当我考虑如何设计一张可能放在圣诞贺卡上的图片时，我产生了相当大的兴趣。就在那时，我第一次意识到图12中的图案的是可能的。

图12：如果一枚小硬币几乎正好放入一圈相同直径的较大硬币(a)的中心，那么一个五角星形的星星(b)，由周围的五枚较小硬币组成，一枚较大硬币将几乎正好放入十枚较大硬币组成的十边形圆圈。(c-d)以十边形为中心的阵列可以通过添加另外的硬币在所有方向上对称地延伸，从而形成从中心辐射的另外的十边形(例如)。一个甲虫状的阵列作为一个重复单元(以蓝色/浅灰色显示)围绕中心十边形(h)出现。

甲虫状单元的对称性是单元的连续五边形状圆可以包装在一起，每个“圆”的边增加一个甲虫状单元。

在随后构建节日阵列中(图11)，我开始问为什么我以前没有读到过这方面的内容。此外，很明显，随着越来越多的甲虫单元被添加，该过程可以无限延长，并且很快可以形成大面积的平行堆积的甲虫单元，其不包括最初的十边形。这种可能性出现了，这可能是形成一个可以镶嵌一个表面的单元的基础。当甲虫单元排列在整个阵列中时，通过在甲虫单元周围描摹并包括其周围的一些圆圈间空间，可能会出现对称的弯曲甲虫形状。它的弯曲边缘将由互连的凸弧和凹弧组成，其半径等于较小和较大硬币的半径。就这样，“Patanon”诞生了。(图13)

图13. 基于两个不同直径的圆盘的 "Patanons"，其黑铁比例为0.701.....

左：显示对称的水平线条和对称折叠的矩形(见正文)

右：一张节日贺卡，上面印有“Patanons”，堆积在中心装饰的“弧形十角形”周围。

当然，Patanon不仅仅是基于硬币。整体形状可以由任意两个大小的圆形物体构成，甚至是DVD和咖啡罐盖，只要它们的直径比等于“黑铁比例”约0.701。(简单地说，较小物体的直径必须是较大物体的大约70%。)Patanons可以手工绘制和切割，也可以用激光从纸张或其他材料上切割下来，然后根据需要进行装饰。在所有情况下，整个Patanon的长度和宽度是直接的，也是唯一的，取决于较大物体的直径和黑铁比例。

作为数学教学或推广的辅助工具，Patanons具有丰富的创新机会，特别是当它们的底层圆和它们的中心可以被看到。相关的类似五角形的三角形、平行线和部分对称线都充满了数学挑战。一个纸质的Patanons可以沿着长方形的边向内折叠，其角位于所示的硬币切向接触点上。折叠的部分完全吻合，符合Patanons的面积是上图所示折叠矩形面积的两倍。对于黄金比例（phi）爱好者来说，由于五角星的参与度如此之高，出现大量的内嵌黄金矩形也就不足为奇了。请考虑一下黄金比例与黑铁比例的关系。毕竟，在古典几何学家之前，圆形卵石和水果早就存在了。把黑铁比例用经典的铁的符号表示，在这里简单地表示为FeR，那么可以很容易地证明：

FeR = (1-sin(36°))/sin(36°) = 0.701301616704079……

且 phi = (1 + FeR)cos(18°)

参考文献

[1] R.L. Willson, P.A. Riley and D.J. Harris, Investigating Magnetism- the Science and Art of Magnetic Coin Tricks, 4thedn. 2014, Brunel University, London ISBN: 1-872166-38-5 1995.

[2] www.magicpenny.orgwww.capat.orgwww.MagneticCoins.info and YouTube: MagneticCoins

[3] Robin Linhope Willson, Magnetic Circle Packing in Creative Outreach and Refreshment

青山不改，绿水长流，在下告退。

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