“混沌”背后，一位不应被忽视的华人数学家

洛伦兹提出的 “蝴蝶效应” 形象地描绘了混沌的本质 | 图源：pixabaycom

编者按

“南美洲的一只蝴蝶扇动翅膀，可能引发得克萨斯州的一场龙卷风。”

这一著名的蝴蝶效应，出自美国气象学家爱德华·洛伦兹1963年提出的混沌理论（Chaos theory）。混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，解释了确定性系统可能产生随机性结果，是继相对论和量子力学问世以来20世纪物理学的第三次革命，在科技领域甚至人文学科的研究中起到了重大作用。

1987年，一部传世的英文报告文学作品Chaos: Making a New Science 问世，作者詹姆斯·格雷克（James Gleick）是美国最伟大的科普畅销书作家之一，他在书中记录了混沌现象的研究历程，描绘了混沌领域近百位数学家和自然科学家探索未知世界的传奇经历。1990年，上海译文出版社出版了该书的中文译本《混沌：开创新科学》，将混沌的故事正式带入国门。2021年9月，人民邮电出版社出版了该书的最新版本。

本文作者丁玖为南密西西比大学数学系教授，他早年读了两遍该书的英文初版，最近又读了一遍中译本。在他看来，一本好书，一部好的报告文学，可以讲述动人的故事，可以激励有志的读者。

2021年，丁玖教授出版了《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》一书。本书以作者与李天岩教授从相识到入门直至李天岩于2020年去世为止三十多年的交往为主线，介绍了李天岩的杰出数学成就，让读者近距离地感受到李天岩教授的数学思想、育人之道和人格魅力。

今天，丁玖教授向《赛先生》的读者朋友们介绍《混沌》这部优秀的报告文学，并讲述了书中的一部小插曲：在写《周期三则意味着混沌》这一故事时，作者 “漏掉” 了在证明该定理的过程中充当关键角色的著名华人数学家李天岩。

撰文 | 丁玖（南密西西比大学）

责编 | 王雨丹

在我考进大学的前夕，1978年2月17日，《人民日报》转载了前一天《光明日报》刊登的《哥德巴赫猜想》*。从此，一位传奇数学家的名字响彻在大江南北、长城内外。

我是1978年2月16日从首发此文的一本文学期刊上读到它的。我还记得在工厂的办公室里一口气读完全文时，被作者激荡人心的优美文字所感染的情景。19岁的我，在那天的日记中感慨地写道：“下午，看《人民文学》七八年第一期，徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》像磁铁般吸引我目不转睛地看下去。惊讶、赞叹、怜悯、羡慕…… 这不像是描写人类的一分子，像传奇式小说，但这是活生生的一个人，现实世界中的一个人，驰名中外的数学家陈景润！” 在日记的最后，我颇具雄心地鞭策自己：“我要在今后的学习中以陈景润为镜子，刻苦钻研，一定要在数学上创造出成绩来。”

*编者注：

哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）于1742年提出，是数论中存在最久的未解问题之一，内容为：“任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。” 本文所述《哥德巴赫猜想》是中国当代作家徐迟的报告文学作品，描写了陈景润的身世和在文化大革命期间的困难条件下证明 “陈氏定理” 的过程，陈氏定理包含了迄今为止世界上有关哥德巴赫猜想证明的最好成果。

在那个时代，一篇传世的报告文学，激励了多少像我这样的年轻人。这就是文字的力量，当然更是英雄人物的力量。

十年后，一部传世的英文报告文学作品在美国诞生：Chaos: Making a New Science。此书生动形象地描绘了混沌学科历史发展中扮演着关键角色的那些数学家和自然科学家探索未知世界的传奇和经历。它也写了数学家，但其写作风格和主题纲要与风靡中国的《哥德巴赫猜想》不太一样。

它并不只写了一两位数学家（须知在现代西方世界，没有哪一个数学家能像陈景润或华罗庚那样家喻户晓，成为民族的殊荣、时代的符号、人民的典范），而是描绘了一批数学家和科学家。它不是一篇占据报纸几个版面的长文，而是一本有350页的大书。它写的不是一个极其困难但孤芳自赏的世界级数学猜想，而是一个欣欣向荣充满活力的新兴科学领域，一个被视为二十世纪可以与相对论和量子力学并肩站立的伟大发现：混沌理论。它没有着墨于歌颂所写人物的 “逆境拼搏” “忘我精神” 或 “大公无私”，而是将他们的优势劣项一并拿来，还原人性。

图1Chaos: Making a New Science 英文原版书籍 | 作者供图

Chaos: Making a New Science 初版于1987年，作者是《纽约时报》的记者和编辑 詹姆斯·格雷克（James Gleick）。它的中文译本《混沌：开创新科学》1990年由上海译文出版社出版（以下简称 《混沌》），译者张淑誉和她的先生校者郝柏林均为50年代的留苏研究生。已故的郝院士是国内最早从事混沌研究的物理学家之一，他在1984年就编辑过一本名为Chaos的英文书，将混沌史上最有名的原始文献收录在内（和Gleick的不是同一本书）。次年6月，他还邀请了首次回祖国访问的李天岩教授演讲 “混沌”。这本Chaos和他的名字，以及他对 “混沌” 的概括性描述也出现在Gleick的书中。

图2 Chaos: Making a New Science 的中文译本《混沌：开创新科学》| 作者供图

1954年出生的Gleick以一纸 “英文与语言学” 的本科学士文凭毕业于哈佛学院，这所注重通识教育和文理修养全面发展的美国大学使得他成长为科学人文写作的高手。作为出道后的这第一本著作，Chaos使他旗开得胜，一鸣惊人。这本书和他后来写的费曼传记Genius: The Life and Science of Richard Feynman（《费曼传》，高等教育出版社2004年引进）及牛顿传记《牛顿：科学天才的浮生一梦》（人民邮电出版社2021年10月引进）分别于1988、1993及2004年入围极具名望的普利策奖最后一轮选拔，并且前两部也是美国国家图书奖的最终竞争者。

图3书中对于Gleick的简介 | 作者供图

20世纪90年代，当我读到Gleick的Chaos原版时，马上就像1978年初读《哥德巴赫猜想》那样深陷进去，在教书之余一周内读完了，感觉收获颇多。但这个收获并非是专业性的，而是历史性的，因为它是一本面向大众的普及读物。专业人士可以从历史事件中梳理出混沌的本质，普通民众则能从故事描述中领略到混沌的美妙。正如作者在书末所云，在描绘科学家参与的事件、动因和展望时，他尽可能地避免采用技术性的语言。

比如说，虽然书名是 “混沌”，却几乎没有关于数学术语 “混沌” 的正式定义或精确刻画，尽管书中有不少篇幅讲了该术语首次提出者之一约克的许多故事。整本书中除了展示了最著名的那个带参数“逻辑斯蒂函数（Logistic函数）” 的二次多项式 rx(1-x) 外，几乎看不到一个数学表达式。这与霍金脍炙人口的科普大作《时间简史》一样：据说霍金写完的初稿曾被他的编辑 “打回冷宫”，因为编辑坚信 “书中多一个公式就会少去一半的读者”。受此理念指导下完成的《时间简史》，尽管还是放进了一个公式（爱因斯坦的质能等式），却成了天下最畅销的科普书籍之一。《混沌》作者采取了霍金的办法，用他极会渲染气氛和描绘情景的那支笔，为普通读者写出了混沌领域由初创到发展三十年间（60到80年代）的 “故事新编”。

为了让广大民众充分了解这段混沌概念发展史，Gleick以尽职科学记者的良心全力获取第一手材料，可谓精心准备，煞费苦心。他在书末的 Notes on Sources and Further Reading（资料来源及延伸阅读）中坦言，书中借鉴了大约两百个科学家在公众演讲、技术写作以及采访对话中发表的言论，并表示从1982年4月到1984年12月期间他采访了其中的许多人。书中被引述的人只列出了姓，但他将他们的全名放在书末列表，总共有96位之多。

有了通过阅读文献及采访人物获得的充足材料和生动故事，Gleick发挥了他高超的写作技能，将混沌的故事写得妙趣横生、高潮迭起、引人入胜。

书的第一章《序曲》，介绍了一个名叫费根鲍姆（Feigenbaum，1944-2019）的30岁纽约籍男人，这位每天工作 “26小时” 的物理学家正在创造历史，他不停思维的大脑和摆弄计算器的双手正在挖掘展示自然界规律的那个 “普适常数”。

接着，第二章的《蝴蝶效应》介绍了 “混沌之父” 洛伦兹（Edward Norton Lorenz，1917-2008）。这位从小爱看气温表的麻省理工学院气象学教授，恰好于六十年前的冬日（1961年），在喝了咖啡后回到计算机屏幕前的片刻，无意中发现长期天气预报的不可能性。这项发现，被Gleick画龙点睛地称为 “播下了一门新科学的种子”。正是Gleick的这本大众图书，将洛伦兹在1979年美国科学促进会上发言中首次提出形象描绘混沌本质的 “蝴蝶效应” 带进了千家万户。

图4 “混沌之父” 洛伦兹

然后，一系列数学家、生物学家、物理学家等 “大家” 在书中纷纷登台亮相，上演了一出波澜壮阔的混沌大戏。

菲尔兹奖获得者斯梅尔（Stephen Smale，1930-），上世纪60年代初从他驾轻就熟的拓扑学领域浇灌出动力系统的鲜花，构造出举世闻名的 “马蹄铁” 映射；

出身理论物理的生物学家梅（Robert May，1936-2020），从种群生态学中最简单的非线性模型中发现了极其复杂的动力学行为；

气象学家洛伦兹的四篇论文，催生出数学家约克和他当年高足（博士研究生李天岩）杰作 Period Three Implies Chaos（周期三则意味着混沌）的初稿。而生物学家梅对马里兰大学的来访演讲，最终导致李-约克徒师二人将已束之高阁一年之久的文章修改定稿，使得这篇仅仅八页的短文在全世界读者人数最多的数学杂志《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上发表。三十二年后的2007年，它被普林斯顿高等研究院的物理学家戴森在其爱因斯坦讲座演讲稿Birds and Frogs（《鸟与蛙》）中称为 “数学文献中不朽的珍品”；

接着，《序曲》中出现的费根鲍姆用他的普适常数征服了科学界。同时，一个逃离布尔巴基学派统治而投身于美国IBM研究中心的法国 “杂学家” 曼德博（Benoît B. Mandelbrot，1924-2010）创造了一个新词Fractal（分形学），在他眼里比欧几里得几何更自然描绘自然界现象的分形几何从此正式粉墨登场…… 这些只是书中众多精彩纷呈的混沌故事中的几个片段，当然也是至关重要的几个。

当我读到第77页中描述的 “混沌电影” 时，顿时眼睛一亮。电影的制作者弗兰克·霍彭斯特德（Frank Hoppensteadt，1938-）是我在密歇根州立大学数学系读书时的理学院院长，也是我博士论文答辩的委员会成员。对于 “逻辑斯蒂函数” rx(1-x)，他取了成千个参数值r，在计算机上迭代了几亿次，计算机屏幕画出了对应于每个参数值的函数迭代轨迹，而通过电影的视觉效果呈现出一派光怪陆离的图景。霍彭斯特德院长在数学系放映了他精心制作的这部科学影片，艺术性地展示了 “从有序到混沌” 的数学之旅，令观众大开眼界，饱览 “混沌”。在场观赏的观众不仅有他的知音同事李天岩教授，还有李教授的博士生（包括我）。

2008年，《混沌》作者推出了该畅销书的第二版。某天，我在闲逛美国 “百万书店” 时从新版序言中读知，第一版问世后的二十年间，这本书在全世界卖出了一百万册，也即平均每年五万本。

我不知道这个数字是否包括了所有外国语译本的销售量，因为Gleick的所有作品大概被翻译成了三十种语言。但是我凭直觉猜测，非英语版本的销售量不在其中，至少此数很难精确算出。不管怎么说，这是一个惊人的记录。这得益于该书的内容通俗性和语言优美性等优点所带来的的广泛可读性。英文原版的封底印有三位著名作家的 “极简书评”，我只引用其中一人的，因为他是名著 Gödel, Escher and Bach（中文译本《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》）的作者 Douglas Hofstadter（中文名侯世达）。他说：Gleick’s Chaos is not only enthralling and precise, but full of beautifully strange and strangely beautiful ideas（Gleick的《混沌》不仅令人着迷和精确，而且充满了奇异和美丽的想法）。

我基本赞同上述评价，然而对于 “精确” 一词难以百分之百地认同。因为这本书关于李天岩与约克合作论文《周期三则意味着混沌》的出笼经过，叙述得 “不甚精确”。整本书只谈论了约克教授在混沌发展史上的作用，尤其在传播洛伦兹革命性思想方面以及他自己在形成 “周期三隐含混沌” 这个猜想时所充当的关键角色，而对李天岩的重要贡献只字未提，只是在书末的注释部分（第326页），给出了正文第69页中被提及的这篇论文的出处：Yorke’s paper. Written with his student Tien-Yien Li. “Period Three Implies Chaos,’’ American Mathematical Monthly 82(1975), pp. 985-92. 仅此而已，这是全书中唯一出现李天岩英文名字的地方，包括有十页篇幅的Index（索引）部分。

一周前，我在家里翻出二十年前我的博士论文导师李天岩教授寄给我的一篇英文文章，打印日期为1999年12月31日，贴在首页的小纸片上写有 “丁玖，请看这篇文章的下半部（Chaos => Statistical Regularity）. 天岩 12/28”。文章的标题是 Exploring Chaos on an Interval（在区间上探索混沌）, 作者是T. Y. Li and James A. Yorke，即李天岩和詹姆斯·约克。此文收在2001年由新加坡世界科学出版社出版的一本论文集中，主题是关于早期混沌理论的回忆。这本书的编者是美国的拉尔夫·亚伯拉罕（Ralph Abraham，1936-）和日本的上田睆亮（Yoshisuke Ueda，1936-），他们都是混沌史上的名人，在Gleick的书中也都有介绍。

图5李天岩教授寄给作者的英文文章 | 作者供图

李天岩教授和约克教授的文章上半部回顾了《周期三则意味着混沌》的写作过程。1972年，马里兰大学数学系教授约克也是该校流体力学与应用数学研究所的成员。一位流体动力学家同事艾伦·法勒（Alan Faller，1929-）教授，复印了许多份洛伦兹关于气象预报的四篇论文，给了他认为会感兴趣的人，其中就包括约克。约克和他的博士生李天岩读后，确实很感兴趣，尤其是洛伦兹微分方程组中第三个解函数z(t)的振动行为不规则性，以及它相邻局部极大值之间的函数依赖关系，这个关系本质上与分段线性的帐篷函数相像。

为了解释洛伦兹获得的这个关系，他们发现了后来被称为 “李-约克定理” 的重要结果：周期三隐含混沌，这是在1973年3到4月完成的开创性工作。在经过一系列的戏剧性事件后，他们的文章发表在《美国数学月刊》1975年的最后一期上。这 “一系列” 的情节除了一句笼统的话 “约克于是为自己觉得可以投稿的传播最广的杂志《美国数学月刊》写了一篇文章” 外，没有出现在Gleick的书中，而详细而真实的故事被我写进了2013年由高等教育出版社出版的拙作《智者的困惑：混沌分形漫谈》中题为 “周期三则乱七八糟” 的一章中。

其实，李-约克的上述回忆文章并没有明确说出他们一生中最伟大工作的降生细节。这并不奇怪，只要他们都将之归功于两人的珠联璧合就行了。科学史中为己抢功贬低对方的合作者有一些，但更多的学者道德高尚，不为名利而降低人格。一个例子就含蓄地出现在Gleick的书中：比利时籍的法国数学物理学家达维德·吕埃勒（David Ruelle，1935-）和他来自荷兰的访问教授弗洛里斯·塔肯斯（Floris Takens，1940-2010）合写了一篇影响深远的文章 On the Nature of Turbulence（湍流的本质）。但是作者提到他们的文章时总是正确地写出两人的名字或者用 “他们” 这个代词，而不是将其中年轻五岁的访问者只放进书末的注释部分。

二十世纪最伟大的数学合作当属于英国的阿蒂亚和美国的辛格。他们共同孵化出的连接拓扑和分析两大数学分支的 “指标定理”，来自后者对前者的一次学术假访问。到访第一天，阿蒂亚劈头就问辛格一句 “为什么自旋流形的A-亏格是个整数？” 基于对这个 “有深层原因” 的拓扑学问题的共同深入思考，引导分析功底雄厚的辛格在两个月内证明出了关于椭圆型微分算子的指标定理。二人因此而分享了2004年的阿贝尔奖。

李-约克定理的诞生也是类似的故事。1973年3月的一个星期五下午，当李天岩走进他的博士论文导师约克的办公室，正因什么烦恼而 “诉苦” 之际，约克劈头就来一句 “我给你一个好想法”。这个想法就是后来他们定理中关于周期三的那两个结论，这是约克从洛伦兹文章里获得的灵感，但他却没有证明他的数学猜想。于是他请分析功底扎实的弟子试试证实（或证否）它。

李天岩花了两周的时间巧妙地运用了微积分里的 “介值定理” 证明它为真。至于Gleick书中提到的约克将写好的文章投给以大学生为主要读者的《美国数学月刊》，或许也是由于李天岩听到导师的 “好想法” 后脱口而出的一句俏皮回答 “你的想法好到可以上《月刊》？” 所引起。如果Gleick写书前将李天岩这位华人的名字放进他那密密麻麻写满人名的 “采访名单” 中，这些生动的真实故事就会在买了一百万册英文版书的读者中传开了。

图6（从左至右）约克-李天岩-丁玖合照（2015年）| 作者供图

为了写出这篇书评，在早年读了两遍英文初版的基础上，我最近又读了一遍这一版的中译本。由于译校者既是卓有成就的物理学家，又具有他们那个时代学者普遍具有的人文素养，我读后总体感觉翻译质量上乘（虽然个别地方有误译）。

我特别注意到，校者将原书的那句包含 “Written with his student Tien-Yien Li”（与学生李天岩合写）的注释，作为第74页的脚注翻译成 “这篇文章的合作者是李天岩”。这一小小的变形，颇耐人寻味，或许这是通晓混沌历史的郝柏林先生试图还原历史真相的一个小小举动。

去年下半年，英文第二版的中译本由人民邮电出版社隆重推出，销售一直看好。不过与旧的译本比较，新译本不仅书名添加了原版标题中的不定冠词 “a” 所对应的 “一门”，而且将Gleick的中文姓从 “格莱克” 改为 “格雷克”。由于在出版市场同一作者中文译名唯一性被丢失，我在本文只能一律写成Gleick。

我在二十多年前读完Gleick的《混沌》后，曾给李天岩教授打电话表达了我关于书中对他只字不提的不满情绪，李教授只回了我一句 “他从来没有采访过我”。但是我听得出他的遗憾、无奈甚至悲哀。我当时想，如果哪天我写混沌简史，一定要还原 “周期三” 这段历史的真实面貌，这也是出于民族自尊心的强力驱动。

2011年春，创刊不久的《数学文化》杂志给了我这个机会，汤涛主编向我约稿，写一篇较有篇幅的数学科普文章。我选择了混沌分形这个主题，杂志分三期登载了我的长文《自然的奥秘：混沌与分形》，其中我将李-约克混沌的故事细细道来。后来，我受朋友们的鼓励，将之内容扩充一倍写成上文提到的书。书稿的审核人之一、混沌名家陈关荣教授将我真实记载的周期三故事称之为 “独家新闻”。

在祖国大地，人们一提起数学名词 “混沌”，就会想起它的创造者之一、杰出的华人数学家李天岩先生，可以说这个词已经成为他的化身或符号。所以在为我纪念恩师李天岩教授的新书命名时，上海科技教育出版社特别喜欢我一位好友的主标题建议：走出混沌。副标题则很具体：我与李天岩的数学情缘。在去年9月出版的这本书中，我专列一章细表了李教授的三大数学贡献，李-约克定理自然排在首位，我用比Gleick书中多一点、但人人可以读懂的数学语言和类比方法，几何直观地清楚解释了这个 “数学文献中不朽的珍品” 。

虽然有这样或那样的不足之处，科学写作大家Gleick的报告文学《混沌》确是一部科普上乘之作。它二十五年前的第一版，已经让混沌的思想及 “蝴蝶效应” 的通俗说法像种子一样撒向世界各地。它不仅传播了许多关于混沌的历史掌故，更重要的是，它帮助人们在职业生涯甚至日常生活中碰到疑难时可以 “换个角度来思维”。毕竟，确定性和随机性是自然世界这枚巨大硬币的正反两面，而混沌则是连接它们的一座桥梁。

定稿于2022年1月19日

美国哈蒂斯堡夏日山庄

致 谢

感谢陈关荣教授和田海燕教授帮助润色本文初稿。

参考文献：

1. 李天岩，关于“Li-Yorke混沌”的故事，数学传播 12(3)，13-16, 1988.

2. T. Y. Li and James A. Yorke, “Exploring chaos on an interval,”in The Chaos Avant-Garda, Memories of the Early Days of Chaos Theory, Edited by Ralph Abraham and Yoshisuke Ueda, 201-208, 2001.

制版编辑 |姜丝鸭