塞尔访问记

编者按：近日英国大数学家Atiyah仙逝，也许当今之世，在被封神（按照最高的标准，同时获得Fields、Wolf、Abel奖三项大奖的数学家，称之为"神“大概不算太夸张）的大数学家中，要属出生于1926年的法国数学家Serre最令人牵挂。

今天我们推出1985年2月14日（一个美妙的日子）由新加坡国立大学数学系庄志达、梁耀强两位教授对他做的一个访谈。原文是英文（回复serre可以获得PDF），发表于新加坡数学会的普及刊物Mathematical Medley（《数学万象》，网址见：http://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/smsmedley.aspx）。有两个中译版，一个刊载于《数学传播》（1987年）第2期，译者吕素龄，一个刊载于《数学译林》译者张伟平、陈军。这里我们从台湾“数学知识”网站找到《数学传播》版本的中文繁体版（http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_11_2_06/index.html），转换成简体与大家分享，以下是正文。

——林开亮、孙志跃

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作者 | 庄志达、梁耀强

译者 | 吕素龄

塞尔(Jean-Pierre Serre) 1926年生于法国。在高等师范学校研读数学。1954年，28岁时，他获得国际数学协会的Fields奖，这是数学家的最高荣誉。两年后，被任命为法兰西学院的代数和几何学教授，在那儿连续大约15年他一直是最年轻的教授。1985年2月2日至15日，他访问新加坡国立大学数学系，这次访问是由“法—新学术交流计划”资助。在访新期间，塞尔教授就定义于有限体的代数曲线演讲了两次，就Ramanujan函数演讲一次。此外，他提供一场两小时的讨论会，谈论Faltings对Mordell猜测的证明，以及一场以虚二次域的类数为内容的学术演讲，题目是“”（回复 class number 可以获得 PDF）。在1985年2月14日，他让我们作了一次访谈，说到他的种种数学生涯和数学观。下面就是访谈本文，由庄志达和梁耀强编写，并经塞尔校订。

问：什么促使你选择数学作为你一生的事业？

答：我记得我开始喜欢数学大约是七、八岁时。在高中时代，我常常做比我高年级的问题。那时我住在Nimes（尼姆，法国南部加尔省的省会——好玩的数学注）城供膳的寄宿处，跟比我年长的孩子生活在一起，他们经常欺负我。为了讨好他们，我常常替他们做数学作业。这跟其他任何的训练方法一样管用。

我母亲是位药剂师（我父亲也是），她喜爱数学。在她还是 Montpellier（蒙彼利埃，法国南部城市——好玩的数学注）大学药学系的学生时，纯为了好玩，她选修了大一微积分，并通过了考试。她小心地保存了微积分课本（如果我没记错的话，那是Fabry 和Vogt 所写的）。在我十四、五岁时，我常常翻阅、研读这些书。这就是我学习导数、积分、级数等等的经过（我是用完全形式化的方法学习——也就是Euler 的方式：当时我并不喜欢，也不了解ε、δ）。那时，我并不知道当数学家可以过活。一直到很久之后，我才知道光是做数学也有人会给你薪水。我最先想当个高中老师：对我而言，那是很自然的。那时，我19岁，我通过考试进入高等师范学校。一旦进了高师，愈清楚看出来将来想当的并不是高中老师，而是数学研究者。

问：是否有其他的科目你曾经感兴趣，譬如物理或化学？

答：物理学不怎么有兴趣，但化学倒是很有兴趣。我说过，我双亲是药剂师，因此他们有许多化学药品和试管，在我十五、六岁时，做数学之暇也玩了不少化学实验。我还读了我父亲的化学课本（我仍保存其中很有趣的一本，是Jacques Duclaux所写的《Les Colloides》）。然而，在懂得更多的化学后，我对化学那些仿数学的外表感到失望：一长串的有机化合物，像甲烷CH4、乙烷C2H6等，全部看起来都有些相似。我想，假若你非得应付序列的话，还是宁愿做数学中的序列！就这样，我丢开化学——但不是全然放弃：我最后和一位化学家结婚。

问：在学数学的过程，你是否受到任何一位中学老师的影响？

答：我只有一位非常好的老师。这是在Nimes就读高中的最后一年(1943-1944)。他被昵称为“大胡子”：那时留胡子人还不多。他头脑很清楚、严密，他要求每一个式子和证明都要清楚写下。为了参加全国数学的“总竞赛”，他严格训练我。在那个竞赛中，我终于获得了首奖。

说到“总竞赛”，在同一年(1944)，我也在物理的竞赛上试试我的身手。竞试的问题全然是以我应该知道（事实不然）的某一个物理定律为依据。幸运得很，我觉得只有一条式子符合那个定律。我就假设它是对的，并且用整六小时的时间解这个问题。我甚至认为我会得奖。不幸我的式子是错的，我什么也没有得到——本该如此！

问：在发现定理过程中，灵感有多重要？

答：我不知道“灵感”真正的意思是什么。定理、理论以各种有趣的方式呈现。有时，你只是不满意现有的证明，要找更好的，以便应用到不同的情境。我的一个典型的例子是，在处理Riemann-Roch 定理（大约1953）的时候，我把它看成Euler-Poincare 示性数（我那时并不知道Kodaira [小平邦彦] 与Spencer已经有同样的想法）。我第一件工作是证明代数曲线的情形——一种大约一世纪前已经知道的例子！但我想要一种特别方式的证明，当我着手去找它的时候，我记得我花不到一、两个钟头就从那儿推到二维的情况（这种情况刚由Kodaira完成）。六个月以后，一般的情形由Hirzebruch 证明，并且在他著名的教授就职演讲发表。

通常，你不真的是硬碰硬的想要解决一个特定的问题。相反的，你心中有某些概念，你觉得这些观念很有用，但你不真正知道它们为什么有用。所以，你四处瞧瞧，试着使用它们。这就像有一串钥匙，你对着一些门试试看。

问：你是否经历过，在你发现一个问题不能解决的当儿，把它搁置一些时候，突然灵光一闪，解答出现了?

答：是的，当然这种现象经常发生。例如，大约在1950年，我做同伦群(homotopy group)时，我自己确信，对给定的空间X，应该存在一个可缩的纤维空间(fibre space) E，他具有基底X；这样的空间的确使我（应用Leray的方法）可以在同伦群和Eilenberg-MacLane的上同调群(cohomology group)做很多计算。但要如何找出它？我花了好几个星期（非常长的时间，那时我还是……）才发现X上的所有的“环路”形成的空间具有我需要的所有的性质——只要我敢把它看成“纤维空间(fibre space)”，而我确是如此。在代数拓扑，这是环路空间(loop-space)方法的起始点，此后许多结果很快接连产生。

问：你通常是一次只做一个问题，或是同时做好几个问题？

答：大约一次做一个问题，但不总是如此。而且我经常夜里工作（在半睡眠状态），事实上，那时你不需要写下任何东西，而得以更集中心力，更为容易改变主题。

问：物理学有很多意外的发现，像X 光、宇宙射线等等。你在数学是否有同样的遭遇？

答：真正的意外很少。但有时你会很惊讶的发现，有些你为某种目的而作的讨论碰巧解决了不同方向的问题；无论如何，我们几乎不能把这种情形称为“意外”。

问：代数几何或数论的中心问题是什么？

答：我无法回答这个问题。你知道，有些数学家有明确、长远的计划。例如，过去Grothendieck 在代数几何有这种大计划；目前Langlands 在表现论（与模函数、数论有关）也有这种大计划。我从没有这样的大计划，即使是小一点的也没有，我只是做当下恰好感兴趣的题目。（目前，我最有兴趣的题目是计算定义于有限域的代数曲线的点的个数。这是一种应用数学：你使用你熟知的代数几何和数论的工具……而你并没有完全成功！）

问：你想代数几何或数论在最近五年最大的发展是什么？

答：这比较容易回答。Faltings对Mordell猜测和Tate猜测的证明，是我首先想到的。我也应提一提Gross-Zagier在二次数域类数(class number)的工作（这些工作是以过去Goldfeld的定理为基础），以及Mazur与Wiles使用模曲线(modular curve)探讨Iwasawa理论的结果。（把模曲线和模函数应用到数论是非常有趣的：比如，你使用GL(2)去研究 GL(1)！显然从那个方向会得出更多的东西——甚至有一天可能得到Riemann假设的证明！）

问：有些科学家在某个领域完成了决定性的成就，又很快转到另一个领域。你在拓扑学作了三年后也改作其他的东西。这是怎么回事？

答：这是连续的过程，不是突然的改变，1952年，我写完有关同伦群的博士论文后，就到普林斯顿，在那儿演讲这个题目（及其续篇“C-理论”），同时参加著名的Artin 与Tate 合办的类域论(class field theory) 的研讨会。然后，我回到巴黎，Cartan 的研讨会正在讨论多复变函数和Stein 流形。总结是Cartan-Oka 最近的结果如果使用上同调群和层论(sheaf) 的方法来讨论，会更有效率，并且更简单。这很让人吃惊，我在这个题目上花了短暂的时间，把Cartan 定理应用到Stein 的流形。然而，多复变很有趣的一部分是研究射影簇(projective varieties)（相对于仿射(affine) 簇——它对几何而言是有些缺陷）；所以，我开始使用层论来探讨这些复射影簇：这是我为何在1953年卷入以Riemann-Roch 定理为中心的各种问题。但是复射影簇是代数簇（周炜良的定理），因此使用解析函数来研究这些代数的材料是有点儿不自然，因为这些解析函数可能有许多本质奇异点(essential singularities)。显然，有理函数应该够用了——事实上也是如此。这使我（大约1954年）走进了定义在任何代数闭域(algebraically closed field) 之上的抽象代数几何。但为何要假设体是代数封闭？有限域会更有趣，如Weil 猜测以及诸如其他的一些问题。从这儿到数论的领域是很自然的转变……这多少是我所遵循的路线。

另一个工作方向来自我和Armand Borel 的合作。他教我许多李群(Lie group) 的知识，他认识李群的方式简直与众不同。这些群和拓扑、代数几何、数论……的关联把我迷住了。且让我为你举个例（那是我在1968年左右才了解的）。

考虑SL2(R)最简单的一个离散子群，那就是Γ=SL2(Z) 。我们可以计算它的Euler-Poincare示性数χ(Γ)，它是-1/12（不是整数，因为Γ有torsion）。现在正巧是黎曼Zeta函数在点ξ=-1的值ξ(-1)（Euler已经知道的结果）。而且这不是巧合！它可以推广到任何全实的数体K，并且可以用来研究ξK(-1)的分母。（后来发现，借着使用模函数，可以得到更好的结果）这样的问题不光是群论，不光是拓扑，也不光是数论，它们只能叫做数学。

问：数学这么多不同的领域达成统合的展望如何？

答：我要说这种境界已经达到了。在前面我已经举了一个典型的例子，其中李群、数论等已经合而为一，且无法彼此分离。让我举另一个这样的例子（很容易再举更多的例子）。

有一个探讨四维紧致可微流形的漂亮定理，最近才由S. Donaldson 加以证明。它说，这种流形在二维上同调群的二次形受到很强的限制：若它是正定的，则它是平方合。而且证明的要点是去建立某些辅助的共边流形作为一些偏微分方程（当然！是非线性的）的解集合！这是把分析应用到微分拓扑的一种全新应用。而它更引人注目的是，如果把可微的假设去掉，情形变得完全不同：由M. Freedman 定理，则二维上同调群的二次型几乎可以是任何东西。

问：我们要如何才能赶得上数学知识的爆炸？

答：你实在不必去追赶。当你对某一特别的问题有兴趣时，你很难发现现成的东西跟你有任何关联，而如果有某些东西确实跟你相关，你会学得很快，因为你知道要如何应用它。定期地看数学评论（特别是关于数论、群论等的集刊）也是个好习惯。你也可以从你的朋友那儿学到不少东西，在黑板讲给你听的证明是要比自己念的容易得多。

更重要的问题是关于所谓的“大定理”，它们一方面非常有用；一方面又长得无法检验（除非你为它们耗下一生相当多的时光）。一个典型的例子就是Feit-Thompson 定理：秩为奇数的群是可解群。（Chevally 曾尝试以它来作为讨论会的主题，把它的证明予以完整的讨论。两年之后，他终于放弃了。）万一我们要使用这样的定理时该如何？信任地接受它们？大概吧！但这不是非常令人舒服的情况。

我也对某些东西感到不安，主要是在微分拓扑方面，作者画了一个复杂的二维图形，要求你接受它是五维或是更高维的证明，只有专家才“看”得出来这样的证明是对或错——假若你称它是一个证明的话。

问：你认为电脑将来对数学发展的冲击如何？

答：电脑对数学某些部分已经有不少好的影响。例如在数论，人们以各种方式使用电脑。当然，首先是提供猜测或问题。此外，也用来检验一般性定理的特例——它对发现可能的错误很有帮助。

要进行大型的分类时也有很大助益（例如，当你必须检验106或107种情况时）。著名的例子是四色定理的证明。不过这儿有一个问题，跟Feit-Thomapson定理的问题有点类似。这样的证明无法用手检验，你需要一台电脑（以及非常巧妙的程式）。这也不怎么令人舒服。

问：我们要如何才能鼓励年轻人念数学，特别是在中小学里？

答：我在这方面有个理论是起先最好不要鼓励年轻人学数学，因为并不需要太多的数学家。但是，往后他们仍坚持学数学，就要确实鼓励他们、帮助他们。

就中学生来说，最主要的一点是让他们了解数学的的确确存在着，它不是死的（他们有一种倾向，相信只有物理或生物有未解决的问题）。传统数学教法的缺点是，老师从不提及这些尚未解决的问题。真可惜！例如，在数论方面，有许多问题是十多岁的小孩就可以了解的：费马定理当然是，Goldbach定理也是，以及无限多n2+1形式的质数存在性。而我们不妨只叙述定理而不证明它们（例如Dirichlet关于等差数列中的质数数目的定理）。

问：你认为数学在近三十年的发展要比过去三十年的发展来得快吗？

答：我不能确定是否如此。风格是不相同的。在五、六十年代，经常强调一般性的方法：广义函数、上同调等等。这些方法非常成功，但现在人们做更具体的问题（通常，有些相当古老的问题：例如在复三维射影空间中代数曲线的分类！）他们应用过去发展完成的工具，这是相当好的。（而且他们也产生新的工具：微局部分析、超流形、相交上同调……）。

问：鉴于数学知识的爆炸，你想一位研究生能够在四、五、六年间吸收大量的数学，然后立刻展开原创性的工作吗？

答：为什么不能？就一个特定的问题，通常你不需要懂得很多。此外，非常简单的概念经常就能解决问题。

有些定理被简化了，有些只是被遗忘了。譬如，在1949年我记得我变得很沮丧，因为当时每期的《数学年刊》(Annals of Mathematics) 都有一篇拓扑学的论文，并且一篇比一篇难。但现在没有人再看这些论文了，它们被遗忘了（也该当如此：我不认为它们包含有任何深度的东西……）。遗忘是非常健康的。

虽然如此，由于要使用繁重的技巧，有些题目真的还是比其他的题目需要更多的训练。代数几何就是这样的例子，表示论也是。

无论如何，我们显然不会说：“我要开始做代数几何了”或其它类似的话。对某些人而言，仅是跟随讨论会，读东西，问自已问题；而后学习做问题所需要的知识就够了。

问：换句话说，我们应当首先针对一个问题，然后学习这个问题所需要的各种工具。

答：有点类似这样子。但因为我知道对自己都不能有好的建议，我也不可能给别人好的建议。我并没有一副万应灵丹。

问：你提到被遗忘的论文。已出版的论文你认为有多少百分比不会被淘汰？

答：我相信是非零的百分比。毕竟，我们仍然充满喜悦地阅读Hurwitz、Eisenstein，或甚至Gauss的论文。

问：你想你将来会对数学史有兴趣吗？

答：我现在就有兴趣了。但这可不容易；例如，我没有拉丁或希腊文的语文能力。而且我有自知之明，叫我写数学史的论文比写数学论文还要花时间。然而历史是非常有趣的，它把事情看得更透彻。

问：你相信有限单群的分类吗？

答：多少相信——也比较倾向相信。假使有新的离散单群被发现，我会很高兴，但我担心不会发生。

更郑重的说，这个分类定理是了不起的事情。我们现在只需利用通过有限单群的清单就可以检验许多性质。（典型的例子：对n≥4，n重可迁群的分类）。

问：在有限单群分类后，你想到的新开端是什么？

答：你是暗指某些有限群理论家在分类完成后会变得沮丧的这件事实；有人说（或者我听到的）：“在那之后，就没有什么事可做了。”我发觉这是很可笑的！当然有许多事要做！首先，简化证明（就是Gorenstein说的“修正主义”）。还有寻找它在数学其他部分的应用；例如，已经有很奇妙的发现把Griess-Fischer 怪物群与模函数联系起来。

这就像在问Faltings 对Mordell 猜测的证明是否扼杀了曲线上有理点的理论。不会的！这只是一个开始。许多问题仍然未解。

（有时候，也真的有些理论被消灭了。一个有名的例子是Hilbert的第五个问题：证明每一个局部欧氏的拓扑群是一个李群。当我是一位年轻拓扑学家时，那是我确实想去解的问题——但我一无所获。解出这个问题是Gleason、Montgomery 与Zippin，而他们的解只是扼杀了这个问题。在这个方向还有什么其他的问题呢？我只能想到一个问题：p-进整数群能有效的作用在流形上吗？这似乎很难——但就我所知，这个解应该没有其他任何的应用了）。

问：但我们会假设大部分的数学问题都像这样，即问题本身可能佷难且富挑战性，不过当它们解决了以后就变得没用了。事实上，很少问题像黎曼猜测一样，甚至在未解之前，人们已经知道它的许多影响。

答：是的，黎曼猜测是非常好的例子；它导出很多东西（包括纯粹数字的不等式，譬如在数体的判别式）。但还有其他类似的例子：Hironaka [广中平佑] 的奇异点消去定理算是一个；当然还有前面讨论到的有限单群。有时，用来证明的方法有许多应用：我确信这种现象会在Faltings 定理发生。有时，问题真的没预计会有应用产生；他们是对现存定理的一种检验，迫使我们看得更深入。

问：你仍会回到拓扑方面的问题吗？

答：不会的，我没有继续接触最近的技巧，而且我不清楚圆的同伦群，πn+k(Sn) ，最新的计算值（我猜大约已算到k=40或50。我一向只知道k =10左右的结果）。

但我仍然以更广义的方式使用拓扑学的观念，像上同调、障碍论、Stiefel-Whitney 示性类等。

问：Bourbaki 在数学方面所造成的影响如何？

答：非常好！我知道把每件坏事都归罪Bourbaki（譬如“新数学”是一种时尚，但这是不公平的。Bourbaki是不应负责任的。人们只是误用Bourbaki 的书，这些书从没打算作大学教科书，更不必说高中了。

问：或许应该有一些警告的讯息。

答：这样的警告讯息Bourbaki 的确提过：那就是Bourbaki 讨论会。这个讨论会一点都不像书本那么正式；它包括各类的数学，甚至某些物理。假使你把讨论会和书合起来，你会获得更均衡的看法。

问：你是否看到Bourbaki 对数学的影响已减退？

答：目前的影响有别于过去的。四十年前，Bourbaki 想作的论点是证明把数学予以组织化、系统化的阐述是可能的。现在这个想法已经做到了，而且Bourbaki也赢了。结果是，他们的书现在只剩下技术层次的意义；问题只是它们是否把主题好好的解说。有时它们做到了（有一本探讨“根系”的已经成为这一领域的标准参考资料）；有时它们没有做到（我不想举例，这太牵涉到品味问题）。

问：谈到品味，你能否谈谈那一类型的书或论文，你最喜欢？

答：严谨而不拘形式的！那是理想典型，就像是用来演讲的。在像Atiyah 或Milnor 等少许作者，你可以看到这种令人愉快的溶合。但这种境界实在很难达到。例如，我发现很多法国人（包括我自己）有点太形式化了，而有些俄国人又有点太不严谨了……

还有一点我想提的是论文应多包含些评注、未解问题等等。通常，这些比定理的证明更有意思。哎！大多数的人却害怕承认他们不知道某些问题的答案，连带地他们就避免提问题，即使是非常自然的问题。多遗憾啊！对我自己而言，我是以说“我不懂”为荣。

塞尔访问记