超越维度：在实验室中模拟四维物理学

导语

我们生活在三维空间，可是如果空间维度的数量增加到四个甚至更多，会有什么不同？借助最新发展的理论和实验技术，物理学家开始探索更高维度的物理。实验室中一种被称为“拓扑绝缘体”的材料，是模拟四维物理的主要灵感来源，其性质会随着空间维度而改变。借助超冷原子、光子甚至经典电路，就可以在受控实验系统中探测四维世界的新物理现象。

研究领域：空间维度，拓扑绝缘体，凝聚态物理

如果宇宙有四个空间维度而不是三个，会是什么样子？借助最近发展的技巧，实验物理学家开始探索更高维度的物理，在诸如超冷原子、光子学、声学，甚至经典电路等平台上模拟额外的第四维度。尽管任何这类技巧都必然有局限性，因为第四空间维度总是人工的，但这些方法已经证明，它们可以在受控实验系统中模拟一些四维效应。

但什么是第四空间维度？在非相对论物理学中，空间和时间截然不同，空间维度只是物体向前和向后移动的方向（不同于时间，时间总是从过去流向未来）。系统中相关空间维度的数量由空间运动可以沿哪些方向，或描述一个物体在特定时刻位置的最小空间坐标数量，如 (x, y, z) 来定义。

空间维度的数量可以通过对系统施加约束来约减。例如，将珠子穿到一根长直导线上会限制珠子仅在一个空间维度上移动：沿线向前或向后。单个坐标给出了珠子在任何特定时刻沿线的位置。

如果空间维度的数量增加到四个或更多，会发生什么？理论物理学家可以简单地将熟悉的物理方程扩展到一组扩大的空间坐标系，例如（x，y，z，w）。这种扩展通常不会导致新现象。但在某些物理领域，可能出现新的效应，比如拓扑绝缘体，这是实验模拟四维物理的主要灵感来源。本文深入探讨了什么是四维物理，以及模拟四维空间的实验技巧是如何运作的。

一、拓扑绝缘体——实验模拟四维物理

拓扑概念从数学到物理学的转移加深了研究人员对物质状态的理解，并导致了大量奇异拓扑材料的发现。在数学中，拓扑学是对不同表面进行分类的最著名的框架。例如，甜甜圈属于有一个孔的曲面族，而橙子属于没有孔的曲面族。如果我们平滑地压扁一个橘子，它的形状会发生变化。但如果不撕开一个新的洞，它就不可能变成甜甜圈的形状，从而改变拓扑结构。这种情况由一个称为亏格（genus）的指标来量化。其他数学问题有许多其他类型的拓扑数，例如所谓的陈数（Chern numbers），这些将在后面讨论。

在物理学中，拓扑数是许多材料的电学、光学和其他行为的核心。[1] 特别是，它们经常对晶体中的电子能带进行分类。在非平庸的情况下，这些拓扑数保证了特殊的性质，例如，尽管材料内部是绝缘的，但在材料边缘会存在围绕其循环的电流环路——这种材料被恰当地命名为拓扑绝缘体（topological insulator）。与可挤压橙子的亏格相似，拓扑数很难改变，因此拓扑性质，例如那些特殊的边缘电流，即使在无序情况下也是鲁棒的，只要内部保持绝缘。

空间维度改变了拓扑绝缘体及其边缘电流的性质。如图1所示，二维拓扑绝缘体具有有效的一维导电边缘通道，而三维拓扑绝缘体覆盖有二维导电表面。类似地，四维拓扑绝缘体应该是一种具有鲁棒的三维导电表面体积的不同寻常的材料。此外，不仅是边缘行为，基础物理和拓扑数的定义都取决于系统的空间维度和对称性。[1]

图1. 二维、三维和四维拓扑绝缘体尽管在块体内（紫色）绝缘，但在其边缘或表面（浅灰色）上导电。

这种不寻常的行为由电子能带结构的拓扑造成。在三维和四维系统中，导电表面被描绘为从块体上升起，以同时显示块体和表面。四维拓扑绝缘体显示为沿第四维的几个独立的三维切割。

二、量子霍尔效应

四维拓扑绝缘体的故事始于二维量子霍尔效应，该效应由坐落于德国斯图加特的马克斯·普朗克固体研究所的 Klaus von Klitzing 于1980年发现。这项研究为他赢得了1985年诺贝尔物理学奖。

顾名思义，二维量子霍尔效应（2D quantum Hall effect）本质上是一种二维现象，最早在高质量半导体异质结中移动的有效二维电子气体中被观察到。[1] 在他的开创性实验中，von Klitzing将硅基异质结暴露在低温和向外的强磁场中，然后让电流流过装置，测量其两端的电压以找到霍尔电导。他的发现令人出乎意料：霍尔电导表现为稳定的平台，被 2/ℎ 的整数倍精确量子化，其中是电子电荷，ℎ是普朗克常量。事实上，这种量子化足够的鲁棒和精确，后来成为2019年国际单位制中对千克的新定义的一部分。

图2. 霍尔电导和磁场的关系。

可以看到，霍尔电导表现为稳定的平台，被 2/ℎ 的整数倍精确量子化。| 图片来源：Klaus von Klitzing/1985 Nobel Lecture

1982年，西雅图华盛顿大学的 David Thouless 和他的同事证明，二维量子霍尔效应的起源在于电子能带的拓扑性质。这一认识在一定程度上是 Thouless 获得2016年诺贝尔物理学奖的原因。霍尔电导中的整数与称为第一陈数的二维拓扑数有关，其保证了材料边缘周围存在拓扑电流[1]（见图1）。换句话说，二维量子霍尔系统是现在被称为拓扑绝缘体的一个例子，霍尔电导的鲁棒性是其关键实验特征之一。

方框1：沿着边缘的跳跃

二维量子霍尔边缘电流的起源是什么？经典的情况是，当一个受限于二维运动的带电粒子受到一个向外的磁场B时，会在块体中产生封闭的旋转轨道（深蓝色圆圈），但沿着盒子的边界（浅蓝色箭头）会产生单向跳跃。即使边界变形，这些跳跃的轨道也会沿着磁场的方向继续移动。在量子力学情形下，这种行为转化为拓扑绝缘体特有的绝缘体态能带和鲁棒的导电边缘态。

在发现二维量子霍尔效应后，理论物理学家提出，某些三维材料也具有以第一陈数为特征的能带，但在这种情况下，陈数是三元数组：其中每个数对应于三维材料的三个笛卡尔平面。理论上的三维量子霍尔效应于2019年在五碲锆晶体中通过实验观察到。[2]但三维量子霍尔效应通常被称为弱拓扑现象，因为关键特性（例如第一陈数）本质上仍然是二维概念，即使系统是三维的。因此，由此产生的拓扑行为有时可能不太鲁棒。

然而，在四个空间维度的情形下，一种在根本上不同的量子霍尔效应由瑞士苏黎世联邦理工学院的 Jürg Fröhlich 和 Bill Pedrini，以及斯坦福大学的张首晟和胡江平在21世纪初独立提出。[3]该四维量子霍尔效应具有与二维霍尔效应不同的量子化霍尔电导形式，并且与一个称为第二陈数的四维拓扑不变量有关，该不变量产生了三维导电表面体积，如图1所示。

迄今为止，科学家已经提出了各种四维量子霍尔模型。[3-5]有些模型类似于二维量子霍尔效应，描述磁场中的带电粒子。其他模型，如张首晟和胡江平的模型，利用杨-米尔斯规范场（Yang–Mills gauge field）的物理，如方框2所解释的，并从粒子物理学中汲取灵感。[6]

方框2. 奇异的单极子

一种考虑拓扑泵（topological pumping）的方式是，它用外部控制的参数取代了哈密顿量中的一些真实空间维度。但是如果所有的空间维度都被换成了外部控制的参数，那么就不需要真实的空间自由度来模拟更高的维度了。

2018年，Seiji Sugawa、Ian Spielman 和他们在联合量子研究所和马里兰大学的同事使用了这种类型的方法。受张首晟和胡江平关于四维量子霍尔效应的工作启发，[4]研究人员在一个有效的五维参数空间中，通过耦合原子量子气体的四个内部状态，实验模拟了所谓的杨氏单极子（Yang monopole）。[16]与保罗·狄拉克（Paul Dirac）假定假想的磁单极子是磁场的来源类似，杨氏单极子被提议作为五维的杨-米尔斯规范场的来源。Sugawa、Spielman和他们的同事确定了模拟单极子的性质，并验证了它可以被第二陈数加以区分，正如预测的那样。

最近，在2020年，类似的实验方法已经模拟了所谓的四维张量单极子（tensor monopole），它被假设为张量规范场的来源，其特征是一种称为 Dixmier-Douady 不变量的奇异拓扑数[14]。

四维量子霍尔效应并不是故事的终点。在过去20年里，其他的量子霍尔效应已经在六维和八维系统中被预测，许多其他的二维和三维拓扑绝缘体也已经被发现，它们需要除陈数之外的拓扑不变量。[1] 将物质的拓扑相划分为任意空间维数的数学分类也表明，其他更高维度的现象正等待被发现。[6]

三、拓扑物理学，不只是电子

尽管二维和三维量子霍尔效应是在固体材料中观察到的，如果要将更高维度的物理学带入实验室，则需要超越固体材料的范畴，考虑其他更可控的平台。

许多拓扑特性虽然最初与电子输运联系起来，现在反而被理解为源于能带理论和普通的波物理学。[5]换句话说，拓扑数，如第一陈数，也适用于超冷原子、经典光波、机械振荡和海洋表面的波，这里只列举一些可能性。

直观上，经典波或无相互作用的玻色子不应该被称为拓扑绝缘体，因为如果没有泡利不相容原理或其他效应来填充能带中的态，这些系统就不会是通常意义上的绝缘体。然而，目前的惯例是，只要物理是从具有良好定义的拓扑数的能带中导出，就使用拓扑绝缘体这个名词。[5]

探测非电子系统的拓扑物理学需要不同的实验方法，因为这些系统不再具有霍尔电导中鲁棒的量子化平台。对于基于波的系统，最重要的实验特征通常是存在局域于系统表面的鲁棒振动模式，处于禁止穿透块体的频率。在这些情况下，对于一个给定的频率，波可以在表面传播，但不能在块体内部传播，如图1所示。这种拓扑保护可能有朝一日对诸如光子学器件在内的应用非常有用，因为它提供了一种方法，可以鲁棒地引导光绕过在器件制造过程中引入的任何无序和缺陷。[5]

向非电子平台的扩展也有利于对拓扑现象的研究。其中许多平台比真实的材料更容易调控，因此使科学家们能够在目前固体物理学可研究的范围之外进行探索。[5]作为推动工作的一部分，研究人员已经发展了模拟额外维度的实验技巧，部分原因是为了探测高维拓扑绝缘体。三个主要的方法是拓扑泵（topological pumping）、连接（connectivity）和人工维度（synthetic dimensions），尽管其他方案也在开发中。

四、探测高维拓扑绝缘体的方法

方法1：拓扑泵

最早但也许是最抽象的模仿高维度的技巧之一是拓扑泵（topological pumping）。这个概念由 Thouless 作为实现二维量子霍尔效应的一种方法在1981年首次提出。他预测，缓慢地调整某些类型的一维量子系统的参数可以鲁棒地在系统中泵送粒子。[1]

最简单的例子从一种绝缘体开始，其中粒子占据一维周期势阱链的每个极小值。如果整体电势的空间位置被缓慢地调整，使整个晶体沿着链滑动，那么由此产生的最小值点的运动就会拖动粒子与其一起运动。Thouless 不仅计算出这种鲁棒的粒子输运是一个拓扑不变量的产物，而且该不变量与二维量子霍尔效应中的二维拓扑数（第一陈数）相同。这一结果表明，从某种意义上说，一维拓扑泵是二维量子霍尔效应的动态版本，这一点后来已在实验中得到探索。

从一维到二维似乎与高维物理学相去甚远。但在2013年，以色列魏茨曼科学研究所的Yaacov Kraus、英国牛津大学的Zohar Ringel和苏黎世联邦理工学院的Oded Zilberberg预测，二维拓扑泵与四维量子霍尔效应的四维拓扑数（第二陈数）有关。[4]

该预言在2018年 Zilberberg 领导的两个补充实验中被证明是正确的。一个是他与宾夕法尼亚州立大学的 Mikael Rechtsman 团队在光子学体系中进行；另一个是与德国马克思·普朗克量子光学研究所和慕尼黑大学的 Immanuel Bloch 团队以及我在伯明翰大学的合作者在冷原子体系中完成的[7]。这些实验分别在光在波导阵列边缘的传播和原子在系统中的净运动中发现了四维量子霍尔效应的特征，后来又被其他课题组推广到声学平台上。

拓扑泵有许多内在的限制，因为它本质上是一种数学技巧，基于巧妙的方法切割更高维模型。实际上，粒子只能在低维系统中移动，而不具有足够的高维自由度。通过其他类型的实验方案，可能实现更接近真实的高维系统。

方法2：电路连接

模拟更高空间维度的第二种方法是基于连接的概念，这可以从离散晶格模型开始理解。在这些模型中，粒子只能存在于一组晶格位点上。这些格点可以表示为分布在空间中的一组离散的点，如图4所示。根据模型的具体情况，粒子可以在成对的格点之间跳跃，如虚线所示。这种离散的晶格模型是真实系统的常见近似，包括电子在固体材料中移动和电流在电路中移动。它们还可以识别和分离现象的基本组成成分。

图4. 更高维的格子可以在低维系统中构建。

在左边，一个二维的离散晶格模型是由格点（圆圈）与连接（线）组成的。如果保持相同的连接，相同的晶格可以有效地嵌入到一维中。在右边，这种嵌入技巧被用来将四维晶格编码到这个三维电路板堆中。

理解高维模拟的关键在于，离散格点模型本质上是一个由节点（如格点）和连接（如允许的跳跃）组成的网络。这一观点表明，只要所有连接都相同，节点在实空间中的物理位置并不重要。

例如，如果每行的节点都是首位相连地排列，则图4中的二维方晶格可以转化为一维链。只要节点之间存在相同类型的连接，该系统就会遵守与之前相同的数学方程。在某种意义上，这个过程将二维模型嵌入到一维系统中——尽管是一个奇怪的一维系统，其中一些短程连接缺失，而其他长程连接出现。

同样的想法也可以延伸到更高维的格点上——例如，用三维或二维系统创建一个四维格点模型。因此，嵌入技巧提供了一个在真实的物理系统中实现四维晶格模型的诀窍，但却面临着调控节点之间复杂连接的挑战。

在2013年的一个早期方案中，克罗地亚萨格勒布大学的 Dario Jukić 和 Hrvoje Buljan 设想用光子波导模拟一个离散的四维晶格。[8]从那时起，研究兴趣就集中在更灵活的系统上，如电路，以及如何将由电感、电容和电阻组成的格点连在一起，实现四维拓扑模型的各种方案。

2020年，我和新加坡南洋理工大学的 You Wang、Baile Zhang、Yidong Chong首次在实验中应用了该方法，如图4所示。我们创建了一个小型的四维拓扑晶格，包含144个嵌入电路的格点。在实验中，我们设计了一叠三维电路板，并将它们连在一起，以匹配四维量子霍尔效应的四维离散晶格模型。正如对四维拓扑绝缘体的预测，我们观察到电流流经四维拓扑绝缘体表面的格点，但没有流经块体内部。

这些电路实验确实有局限性，因为它们通常不能同时获得态的整个能谱。它们也是经典的系统，不能表现出量子效应。尽管如此，制造电路的简单性和灵活性使它们成为探索四维物理学的一条富有成效的途径。

方法3：人工维度

最后一招——人工维度——最接近于真正模拟在四维运动的粒子。该方法将系统的一些内部状态或内在属性解释为沿着一个假想的额外维度的格点。[5]通过将该策略与其他真实或人工维度相结合，它有可能实现高维晶格模型。

为了了解这个方案是如何运作的，我们考虑一个被囚禁在真空室中并被冷却到接近绝对零度的全同原子气体的例子。每个原子都有各种可能的内部原子自旋态，它们对应于组成它的电子和原子核的不同构型。如图5所示，将合适的激光照射到原子上，可以刺激它们在这些内部状态之间按一定次序转换。随着这些转换的发生，原子的自旋态标记会逐步改变，类似于粒子在格点之间跳跃时离散空间坐标的变化。这个类比强大而有效，它将不同的自旋态重组以张成一个人工维度。

图5. 人工维度将原子自旋态或其他内部状态或内在属性变成类似于空间维度的东西。

一个二维离散晶格模型（左）包括一个真实空间维度和一个由原子自旋态组成的人工维度。沿着真实维度的跳跃（实线）对应于真实的原子运动，而沿着人工维度的跳跃（虚线）对应于激光诱导的自旋态之间的转换。四维超立方晶格的单胞（右）是一个超立方体。这种形状可以用真实和人工空间维度的适当组合来制作。

原子自旋态的人工维度的想法起源于2012年西班牙巴塞罗那大学的 Octavi Boada 和 José Ignacio Latorre 以及巴塞罗那光子科学研究所的 Alessio Celi 和 Maciej Lewenstein 的工作。[10]三年后，同样的想法被扩展到离散二维量子霍尔效应晶格模型，包括一个真实维度和一个人工维度，在冷原子实验中实现，如方框3所示。在未来，该方法可能被进一步推动，以实现四维拓扑模型。

方框3：人工维度中的跳跃

2015年，LENS（欧洲非线性光谱实验室）和佛罗伦萨大学的 Leonardo Fallani 和 Massimo Inguscio 课题组以及联合量子研究所和马里兰大学帕克分校的 Ian Spielman 课题组都实现了一个二维量子霍尔系统，包含一个真实空间维度和一个三原子自旋态的人工维度，[17,18]与图5相似。如图6所示，这些系统表现出霍尔物理的关键特征：沿系统边缘跳跃的轨道，类似于带电粒子在磁场中的轨道，如方框1所解释的那样。

图6. 二维量子霍尔系统，包含一个真实空间维度和一个三原子自旋态的人工维度。

自2015年以来，人工维度领域得到了极大的扩展。一个突出的创新是将冷原子中的自旋态换成原子动量态。动量态可以通过如下方式耦合成一个人工维度：脉冲驻波光，光波会移动原子，沿着波的方向量子化地改变它们的动量。[5]英国剑桥大学的 Ulrich Schneider 课题组最近将这种方法扩展到四束独立的驻波光，每束光都指向二维平面的不同方向。[11]这一进展同时创造了多达四个人工维度。[11]虽然还没有拓扑效应，但实验结果可以用原子在四维超立方晶格上跳跃来解释，如图5所示，该晶格由动量态组成。

近年来，光子学在人工维度方面也取得了重大发展。最值得注意的是两种方案：一种是由环形腔的频率模式形成的人工维度，另一种是由波导阵列的晶格模式形成的人工维度。斯坦福大学的Shanhui Fan和他的同事展示了基于单光子腔的频率模式的两个同时独立的人工维度。[12]海法以色列理工学院的Mordechai Segev小组提出并进行了基于晶格模式的实验，该实验已经揭示了具有人工维度的二维和三维拓扑边缘物理。这两种方法将来都有可能实现四维拓扑绝缘体。

五、开启更高维度

尽管过去几年取得了如此多的进展，模拟四维物理的实验仍处于早期阶段。拓扑泵已经成功地运用数学技巧来观察四维效应的特征，但不能完全刻画四维动力学。电路可以刻画四维拓扑晶格的全部连接，但尚未提供对四维物理的完全实现。在未来，所有这些限制将有望被人工维度所克服，在人工维度中，粒子或许能够像在四维空间中一样移动。

人工维度也可能揭示了思考三维世界的新方法。毕竟，一个人工维度是由现有的物理自由度耦合而成。例如，创建一个光频模式的人工维度涉及到控制光的频率，而在这样的设置中寻找拓扑边缘电流，则与确定一种新的机制来鲁棒地输送光或转换光的频率有关。长远来看，通过为理解和设计复杂系统提供另一种观点，人工维度可能会在光频隔离器或光的光谱操纵方面得到应用。[5,12]

就基础科学而言，还有很多四维物理有待探索。本文的主题都是单粒子物理学，即粒子与粒子之间的相互作用可以忽略不计。在理论上理解四维现象只需少数几步，例如张首晟和胡江平提出的将二维分数量子霍尔效应推广到四维的建议[3]。了解在更高维度上可能出现的多体物理，以及这些现象是否可以用目前的实验技巧来实现，需要进一步的工作。

从实验的观点看，未来的一个挑战是，粒子与粒子之间的相互作用自然取决于真实三维世界中的粒子分离，而不是合成四维系统中的粒子分离。[5] 例如，在人工维度的情况下，只要两个处于不同自旋态的原子占据相同的物理位置，它们往往会具有强烈的相互作用。这些相互作用对应于沿人工维度的奇怪的非局域相互作用。研究人员正在发展各种方法来理解和解决此类问题。

最后，尽管对四维物理的模拟始于四维量子霍尔效应，但未来该领域的蓬勃发展应远远超出该效应。最近的实验已经显示了其他的拓扑效应，如方框2中描述的奇异的四维张量单极子[14]。其他的实验技巧也在发展之中，包括基于多端约瑟夫森结，利用超导相取代空间自由度的方案[15]。在不久的将来，更多的四维物理将在实验室中得到模拟。

Hannah Price | 作者

潘佳栋 | 译者

黄泽豪 | 审校

邓一雪 | 编辑

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