《非常6+1》的砸金蛋你还记得吗？美国也有这样的节目

相信李咏老师主持的《非常6+1》是两代人的记忆，记得我小时候最爱看的就是砸金蛋环节，李咏老师电话连线观众砸金蛋，观众报号，砸出来有金花即可获得大礼包。当时不止一次地羡慕那些中奖的人，幻想着自己有一天也能获得这个奖项。

李咏老师询问号码

如今，李咏老师已经离开我们将近两年时间了，这对大多数人来说还是一个没办法接受的事情，但是《非常6+1》会和李咏老师一起一直保存在我们的记忆中。

实际上，美国在上个世纪便有类似的节目，那便是由蒙提霍尔主持的Let's Make a Deal节目

Let's make a deal海报

在蒙提霍尔主持的电视节目“Let's Make a Deal”中，参赛选手可以首先从三个关闭的门中选择一个门，其中三个门后依次有两只山羊、一辆轿车，如果选择到轿车则可以获得该车。只有蒙提霍尔本人知道哪扇门后面是轿车，在选手选择后，蒙提霍尔会在剩的两个门中挑出一个山羊存在的门打开，告诉参赛选手这个门后面是山羊（他一定不会打开轿车所在的门），随后他会给参赛选手一个机会，让选手选择是否更换自己选中的门（此时只剩两个没打开的门）。这时候很多选手都不会换门，因为他们觉得换门不换门能赢下的概率都是二分之一，说不定还是主持人的心理战术呢。其实不然，下面，我将为大家分析正确的做法。

蒙提霍尔问题

首先，我们将门标记为1、2、3号，不失一般性的，我们可以假设选手选择了一号门，随后蒙提霍尔在2、3号门中选择了山羊后面的门打开，假设Ci表示第i个门后面是轿车，根据LOTP(Law of Total Probability)我们可以得到

其中P(得到轿车|Ci)表示在轿车在第i个门的条件下选手得到轿车的概率，由于三个门背后均有可能是轿车，故上式可化为即

假设挑战者一定会更换门，那么如果轿车在1号门后面，则

代入到上式可得

因此如果换门，得到轿车的概率是三分之二，不换门的话得到轿车的概率是三分之一。

误区

相信大家都遇到过一个困惑，就是在明确一个门是山羊的情况下，那么剩的两个门不是都有可能是车，于是换不换门的概率不就变为二分之一了吗？

会这样考虑的话说明大家对概率学的认知还不够清楚，忽视了概率的条件，要知道，任何概率都2是有条件的概率，如果不考虑概率发生的条件的话是很容易犯上述的错误。

博主对于该困惑的解答是你没有考虑到自己选择的门是轿车的概率与是山羊的概率是不一样的，即先验概率是不同的，你所在的门有三分之二的可能性是羊，因此在蒙提霍尔筛选掉一个包含山羊的门后剩下的两个门的后验概率是不同的。为了更形象地解答，博主用下图来进行说明：

这个图一目了然可以看到，蒙提霍尔的选择概率也是不一样的，剩下的门是否是轿车的概率也是不一样的。

问题扩展

蒙提霍尔问题之所以经典，是因为它可以加入不同的条件扩展为更多有趣的问题，比如说：当蒙提霍尔不知道哪扇门背后是轿车时选手是否应该变换门？或者说蒙提霍尔知道轿车的位置且更喜欢打开某扇门的情况下选手是否应该变换门？

诚然，在考虑扩展问题的时候同时也要考虑其解法。比如说当蒙提霍尔不知道哪扇门背后是轿车时，他在开第一扇门的时候也有概率直接开到轿车从而淘汰选手，最后可以计算得到选手获得轿车的概率不管变不变门都是三分之一。而当蒙提霍尔在更喜欢打开某扇门的倾向下，其概率又会变得不同，因为蒙提霍尔开的门不同的话，变不变门获得轿车的概率也会发生改变，这就需要选手视情况而变化。

这是由一个综艺节目引申出来的一个非常有代表性的数学问题，很多数学知识都能用来解决生活中的问题。写文章不易，如果您觉得有用，还请点赞收藏关注哦，您的支持是博主最大的动力！

笔者系上海交通大学2019届本科毕业生，2019/07-2020/06期间从事机器人SLAM工作一年，并将于2020/09到新加坡读取博士学位。
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