看点 在大多数的美国数学课堂，老师们总致力于让学生们自己去理解、探索和发现，但这样的学习方式，在一些学者眼中，反而成了学生数学能力发展的巨大阻力。到底该如何鼓励学生学习数学？下文就以生动详实的教学案例说明，除了重视理解之外，传统数学教学中的背诵、计算等能力培养，也同样重要。
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文丨Luna 编丨Lulu
重视理解，是美国数学教育中非常重要的教学理念之一，在许多州都采用的共同核心标准也强调了理解比记忆更能真正学会数学。
但是，面对充满小组讨论、自我探究等“发现式”教学的数学课堂，很多家长、老师，乃至大学数学教授都提出了反对。
比如哈佛大学数学系教授Wilfried Schmid就震惊于自己三年级的女儿在学校接受的数学教育。数学课不鼓励孩子们去记忆和背诵，因而他们从没学过乘法表，取而代之的，是被老师鼓励用手指数数的方法来计算乘法，尽管这种方式早就落后于他们的智力水平。
美国的一位资深中学老师Barry Garelick也是这种教学理念的反对者之一。Barry Garelick拥有密歇根大学的数学本科学位，在美国环境署担任了多年的分析师，在此期间就已经开始关注美国数学教育的问题，并和许多数学教育者，包括大学的数学教授们保持联系，更是为美国参议员提供过教育政策方面的意见。
2011年退休以后，他成为了一名中学数学老师。多年来，他一直以资深教育观察者的身份为the Atlantic、AMS Notices、Education Next 和 Education News等主流媒体或教育媒体撰写有关数学教育的文章。
在他看来，当下美国的数学教育已经走入了一种极端，只重视理解和发现，反对任何记忆、背诵和练习，这正是美国孩子数学能力止步不前的直接原因。尤其对低年级的孩子来说，这样的数学课堂更是灾难。
“毫无疑问，学习确实是一种发现。发现式学习也是一种很好的教学工具。”Barry Garelick曾在Education Next上撰文写道，“但一些极端的建构主义者已经把发现式学习放到了更高的地位，他们认为只有孩子自己发现的知识才算是真正的学习。所以，即便是那些基础的知识也不应该由老师直接告诉学生，而应该让学生自己去发现。”
Barry Garelick 美国资深中学数学老师
连游泳都没学会的孩子是不可能打好水球的。在Barry Garelick眼中，很多孩子学数学就是这样一个状态——缺乏必要的基础知识，连“脚手架”都没搭好，就被催着赶着去发现新的数学知识。
因而他呼吁，要改变美国数学教育的现状，就要从极端建构主义的谬论中走出来，让发现式学习和传统教学相互配合，既注重理解数学原理和概念，也训练必要的计算能力，真正激发孩子们对数学的兴趣，发掘他们的潜力。
没有基础知识储备的盲目探究，
反而扼杀了孩子对数学的兴趣
《纽约时报》的一篇文章曾讲到这样一个故事：
纽约奥辛宁某所小学四年级的数学课上，老师遵循建构主义的方法，告诉孩子们“用2来数数得到的数就是2的倍数”，孩子们又跟着老师在写满1-100数字的网格里给2的倍数的数字方格涂色，并观察形成的图形。
与此同时，刚转学过来的小男孩吉米却觉得这些内容过于简单了。对于老师随口出的题“23x16=?”，他在一分钟之内就给出了正确答案“368”。在吉米的老师看来，吉米正是传统数学教学的成果——通过学习数位等概念，加上算法和练习，达到会做题的效果。
在那些只推崇“发现式数学”的教育者看来，吉米这样靠记忆学会的乘法计算不是真正的学会，只是大量机械式练习的结果。只有靠学生推断、探究出来的知识，才算真正学会了。
在美国共同核心标准的《数学标准》中，也用一个例子说明了为什么理解比记忆公式、算式更重要：“一个靠理解和一个靠背诵学会（a+b）(x+y)的学生之间有很大的不同，因为前者可以通过理解算法的原理，推演出全新问题的解法，比如（a+b+c）(x+y)。”
Common Core State Standards for Mathematics
但是，Barry Garelick却反对什么都让孩子去探究，尤其是在他们没有什么基础知识储备的情况下。因为孩子如果连基础知识的“脚手架”都没有，只靠自己观察，是很难探究到成体系的数学规律的，更不要提去理解重要的数学概念。
可是，在建构主义的影响和各类教学要求下，有些老师甚至连最简单的提问都不敢直接告诉孩子们答案，生怕孩子们不能自己“探究”，从而耽误他们“理解”数学。
有一个例子对比非常强烈。
早在二十世纪初，美国蒙哥马利县就尝试引进数学强国新加坡的部分数学教材，在四所学校试点。在新加坡的教材里，有一道经典的题：“玛丽和比尔共有10美元，玛丽的钱比别人多2美元，问玛丽和比尔各有多少钱。”
在美国，孩子们被鼓励用猜测法（Guess-and-Check）来试错，通过把不同的数字组合代入题目，来找到正确答案。但是，新加坡的做法是教孩子们用条块图来解题——用条块长度表示两人钱的数目，很清楚就能算出“玛丽有6美元，比尔有4美元“。
而条块图这种被某些人所不齿的“技巧“，在Barry Garelick看来不仅是一种解题方法，也是数形结合的思维方法。通过恰当的练习，孩子们可以把“数形结合”的思维方法迁移到其他题目中。而仅靠猜测法，孩子恐怕很难看出其中的规律。
不过最终，因为文化和费用，很多学校没有采用新加坡的数学教材。
此外，Barry Garelick认为缺乏基础指导的问题也同样出现在“真实的问题”这个理念上。
比如传统的应用题，“两列火车以不同的速度相向而行，什么时候相遇？”就被认为是不真实的问题，因为它与孩子的生活无关。相反，老师们被鼓励让孩子解决“真实的问题”，比如“学校图书馆有100本书，需要多少箱子来包装和运输？”
“可是这种问题真的真实吗？”Barry多次在自己的文章中反问，“如果它是真实的问题，那么书本的形状、大小都是未知的，箱子的大小也是未知的，孩子们根本无从下手，只会觉得沮丧。”
Barry Garelick就在自己的书中回忆了怎么引导孩子思考更难的问题：“在同一条公路上，A车自北向南行驶，车速80mph，B车自南向北行驶，速度70mph，相遇前一小时，两车相距多远？”
一般的相遇问题，都是问在一段公路上，两车多久相遇，这道题却不问时间，问距离，对小学的孩子来说比较有挑战。于是，Barry Garelick教孩子用线段把相遇过程画下来。
- “假设两车相遇在X点，那么一小时前，分别距离X点有多远？”
- “A车一小时行驶多远？那么A车到相遇点X的距离就是……”
在Barry Garelick看来，孩子们的数学能力不是只靠自己探究出来的，而是在老师适当的引导下，从解决新手问题，一步步发展到解决“专家难题”这样锻炼出来的。
“做不出来题，又没什么指导的孩子往往会问‘我为什么需要知道这个？’，得到适当指导的孩子往往不会，而且他们也不关心这些问题是否和自己的日常生活‘相关’。”
强制要求孩子解释算式的原理，
阻碍了抽象数学思维的发展
Barry Garelick和宾夕法尼亚大学教育研究生院讲师、德雷塞尔大学教育学院兼职教授Katharine Beals合著的一篇文章中提到这样一个故事：
在加利福尼亚州的一所中学，州数学考试正在进行。一个女孩指着电脑屏幕上的问题问：“我该做什么？”监考老师阅读问题说明后，告诉她：“你需要解释你是如何得到答案的。”女孩听后沮丧地说：“为什么我不能解完题，输入答案，就算完成了？”
这是政府和学校为了确保学生能够“理解数学”，而提出的要求。根据共同核心标准的说法，对某一数学主题缺乏理解的学生可能过于依赖解题步骤，如果学生可以充分地解释自己的解题步骤，那就代表他们真的理解了。
但这里又带出了另一个问题：什么样的解释是令人满意的？
共同核心标准没有固定具体的教学方法，因而对于这个问题，不同的老师有不同的处理方式。比如学习乘法的时候，孩子知道5×3=15是不够的，他们可能需要画出五组三支铅笔来证明自己明白什么是乘法。到这里，这种方式还算可以接受。
但是在一些教室里，Barry Garelick和Katharine Beals却看到，一个孩子画了三组五支铅笔，就被老师认为不理解这个算式。
在另一所中学，为了确保孩子们能够理解数学，孩子们每周在课上做2-3道题，专门练习用“Need, Know, Do”的流程图来解释解题过程（Need是题目要求解答的信息；Know是题目中的已知信息；Do是解题过程），这占到了每周总上课时间的10%。
当时，孩子们做到一道题：一件大衣已经降价20%，售价为160美元。这件大衣的原价是多少？
在以前，孩子们列下方程，计算出答案，就被认为可以了，方程本身就是一种理解的解释。
但现在，孩子们不得不在“Need, Know, Do”的流程图下，用文字来解释计算过程，甚至连一个算式都没有出现：
在“Need, Know, Do”的流程图之后，孩子们还需要对这个流程图和其他地方描述的内容进行叙述性总结。
老师告诉他们，“Do”（以及流程图）展示了他们为解决问题所做的工作，而最后的叙述性总结解释了这么解题的原因。
为了让自己的解释符合标准，他们不能简答地写下“100%−20% = 80%”；必须用某种说法来解释，比如“从100%中减去折扣的百分比，就等于我支付金额占的比例”。
在实际情况中，还有很多孩子根本分不清“Do”部分和叙述性总结的差别，在解释自己解题思路的过程中乱成一团。
但是，却很少有老师关注到孩子们在表达方面的困难。
比如，有的孩子理解能力强，可以解释得明白，有的孩子理解能力发育较慢，先学会了按步骤解题，到下一个成长阶段才能好好地表述；
还有英语非母语的孩子，语言能力跟不上自己的数学能力，在解释过程这方面表现得不是很好；
还有小学的孩子抽象思维尚未发育完全，强行解释一些抽象的数学内容，已经超越了他们的发展阶段。
而这些情况却都被视为孩子“没有理解数学”，无视了他们的实际情况。
从数学的角度来说，Barry也认为，强行用文字叙述来解释算式，是一种数学思维的倒退。“数学学习是从具体到抽象的过程。抽象的优点是，各种数学运算都可以在没有诸如美元、百分比、铅笔分组等具体情景的情况下进行。一旦一个应用题被转化为数学表达，其中所有数学相关的内容就会被浓缩成抽象符号。”
将具体问题转变为纯数学表达后，孩子们就可以专心地解决问题，不会被数学以外的种种情景、条件分散注意力。换句话说，强制性的“数学理解展示”会阻碍孩子们去解决数学问题。
强制性的解释不仅把简单的数学问题复杂化，也让美国的数学课程变得拖延——根据共同核心标准，四年级才能学习两位数和三位数加减法的“传统”计算方法（实际大多数学校会提前两年教授这些算法），两位数和三位数的乘法算法被推迟到五年级才学，长除法则要到六年级才学到。
在有些情况下，孩子们实在无法解释自己的解题过程，不得不自己想办法来应付这种要求——他们先用方程、算式把问题解出来，然后再添上要求的叙述性解释文字。这种情况与最初要求孩子“解释数学”的初衷已经南辕北辙。
纠结于基本概念，反而不能
让孩子攻破数学学习的真正难点
对于练习体育运动，学习音乐或者舞蹈，很多人都认同必须要掌握技巧，加上大量的练习。
但是一到数学领域，很多数学改革者就对“记忆”“练习”嗤之以鼻，认为是抹杀孩子兴趣，阻碍数学能力发展的做法。
比如，背诵乘法表就被这些人认为阻碍了孩子理解乘法的意义，而是鼓励孩子们用推理来得出答案。
不知道8x7=56的孩子，可能会通过8x6=48，8x7比48多一个8，所以是56，这样的方式来推理。孩子们不用去背乘法表，却可以不加限制地使用计算器。
不过，包括Barry在内的许多数学老师，乃至数学教授认为，掌握一些基本能力，比如运算，恰恰是发展数学能力的基础。相反，现在很多数学课花了大量时间去理解所谓的“概念”，反而忽略了孩子们在学习过程中遇到的真正难点。
德雷塞尔大学教育学院兼职教授Katharine就曾在文章中提到过具体的例子：
很多老师在教负数时，告诉孩子们负数表示小于0的数字，或者数轴上0特定一侧的数字，还提到了很多负数的实际应用场景，包括低于海平面的距离、低于冰点的温度等。
但这些并不是孩子们学习负数时最困难的地方，孩子们真正觉得困难的是掌握负数的计算法则，包括负数x正数=负数、负数x负数=正数，还有在复杂表达式中知道负号该怎么变。
花两周时间研究负数可以表达低于海平面的距离不仅浪费了宝贵的学习时间，还让孩子们觉得学数学很无聊。
还有数位这个概念。具有挑战性和有趣的地方不在于知道123是100，加2个10，再加3个1，而在于加减乘除的竖式计算和长除法，是怎么利用数位（3在个位表示3个1，2在十位表示2个10，1在百位表示1个100）得出正确结果的。
这也是很多数学教授反对无限制地在K12阶段使用计算器的理由，这让很多孩子错过了去体验数学计算中涉及的一些数的性质。
比如手算可以发现无限循环小数后面的数字一直在循环，但使用计算器不会。约翰斯·霍普金斯大学也曾对数学系学生进行过一次调查，发现那些K12阶段被鼓励使用计算器的学生，分数普遍要低一些。
图注：约翰斯·霍普金斯大学的调查报告
当然，Barry和他的同仁们也不是完全否定理解概念的重要性。相反，他认为如果算法涉及到了某些数学概念，那么理解概念恰恰是能够帮助孩子提高数学能力的。
比如这样一道题：简化a² × a³ 与 (a²)³，孩子通过自己用乘法推导，就能很清晰地了解幂的指数究竟是相加还是相乘。
所以，面对“发现式数学”本末倒置的教学侧重，很多人说，数学课让孩子知道5+3=3+5，却不知道5+3=8。
面对“发现式数学”泛滥的美国课堂，Barry Garelick曾说道，正是“像数学家一样思考”的想法把数学教育和孩子们引入歧途。尤其是低龄的孩子们，数学基础知识还很贫乏，数学思维还没有很好地发展起来，就被老师推着去探究数学，那么结果自然是处处碰壁。
Barry Garelick理想的数学课堂，也不是被诟病的只有死记硬背的计算训练场。而是在孩子们了解了基本数学原理之后，运用方程、算法等数学工具去解决越来越多，步步进阶的数学问题。
“在简单问题的解答上，我不知道该如何分辨死记硬背解题方法和理解数学原理的学生，”他曾在博客中写道，“但当学生遇到的题越来越难，他们在某个阶段遇到困难时，我会知道他们在哪一步出了问题。”
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