导语
具有长尾特征的分布往往一目了然，但实际拟合过程却可能遇到各种各样的问题。本文将为读者介绍2014年由新加坡科技设计大学和麻省理工研究者联合发布的python库：powerlaw，专门适用于幂律等长尾特征分布的拟合，解决拟合烦恼。
期刊来源：PLOS ONE
论文标题：
powerlaw: A Python Package for Analysis of Heavy- Tailed Distributions
论文网址：
https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0085777
幂律分布简要回顾
幂律分布作为长尾分布的一种，满足
可以用来印证生活中很多有趣的现象，比如最为大家熟知的“二八定律”“富者越富”等等。早在上世纪早期就先后有克莱伯定律、Zipf定律等幂律现象的发现，而千禧年之际BA无标度网络的正式提出更是掀起一波“幂律热潮”，大家越来越接受“幂律分布是复杂系统中的普适现象”这一观点。
图1. 人们常说“20%的人掌握着80%的财富”就是典型的幂律分布，其具有尖峰、长尾特征。
powerlaw库拟合效果
图2. 三个不同数据集用powerlaw拟合后的可视化图像
图2显示了可视化、拟合和评估长尾分布的基本要素，每组子图将在后续部分中进行进一步的详细描述。
图1中三列子图包含三个示例数据集和拟合结果，分别表示幂律良好拟合、中等拟合和较差拟合。第一列的数据，也是最好的拟合数据集可能是所有幂律分布中最著名和最可靠的：英语单词使用频率。具体使用的数据是Herman Melville的小说《Moby Dick》中词语的使用频率。第二列的数据是线虫每个神经元的连接数。最后一个拟合不佳的数据是1984年至2002年间受停电影响的美国人数。
图2中的子图A表示了三个样本数据集的概率密度函数，子图B显示了只有少数分布的尾部可能遵循幂律，子图C表示了如何将幂律拟合与其他长尾分布进行比较。
powerlaw库基本操作介绍
可视化
下面以1984年至2002年间受停电影响的美国人数数据为例进行操作说明。
>import powerlaw
>fit = powerlaw.Fit(data) #对导入的数据data进行幂律拟合
>fit.power_law.alpha #拟合得到幂律分布幂指数alpha
2.273
>fit.distribution_compare(‘power_law’, ‘exponential’) #与指数分布对比得到对数似然比和p值
(12.755, 0.152)
powerlaw库更容易绘制概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）和互补累积分布函数（CCDF）。对应的计算工作通过pdf、cdf和ccdf完成的，而绘图则是结合matplotlib通过plot_pdf、plot_cdf和plot_ccdf命令完成。
>powerlaw.plot_pdf(data, color = ‘b’)
>powerlaw.plot_pdf(data, linear_bins = True, color = ‘r’)
该命令中的linear_bins参数控制对数坐标轴与否。线性刻度不利于幂律尾部“大值”的观察，采用对数刻度增加在尾部观察一系列数据的可能性。图2子图A显示了选择对数刻度如何极大地提高数据分布的可视化。在这里默认为对数刻度，但也可以用linear_bins = True进行线性划分。
关于PDF、CDF和CCDF的拟合示例如下，具体选择需结合拟合需求。如果要在同一画布中呈现多条拟合曲线，需要传递带有ax的matplotlib对象。例如下方同时画出神经元连接数据的CCDF（红色）和PDF（蓝色）曲线。
>fig2 = fit.plot_pdf(color = ‘b’, linewidth = 2)
>fit.power_law.plot_pdf(color = ‘b’, linestyle = ‘–’, ax = fig2)
>fit.plot_ccdf(color = ‘r’, linewidth = 2, ax = fig2)
>fit.power_law.plot_ccdf(color = ‘r’, linestyle = ‘–’, ax = fig2
图3. 神经元连接数据的CCDF（红色）和PDF（蓝色）曲线。
在绘图之外，PDF、CDF和CCDF信息也可用。拟合对象返回拟合数据和排序数据（CDF）和bin的边缘概率（PDF）。分布对象默认使用全部拟合数据，也可以指定具体的数据范围。
>x, y = fit.cdf() #幂律分布CDF拟合>bin_edges, probability = fit.pdf()>y = fit.lognormal.cdf(data = [300, 350]) #对数正态分布CDF拟合>y = fit.lognormal.pdf()
拟合范围
拟合幂律的第一步是确定拟合数据的哪一部分。长尾分布的有趣特征是尾部及其属性，所以如果数据的初始小值不遵循幂律分布，用户有可能会选择忽略它们。powerlaw库会为用户提供最优的幂律拟合最小值，当然用户也可以选择指定最小值或给最小值框定范围，不同的最小值选择往往会带来不一样的拟合结果，如下方代码所示。
>fit = powerlaw.Fit(data)
>fit.xmin #得到最优的幂律拟合最小值
230.000
>fit.power_law.alpha
2.273
>fit.power_law.D #选择数据和拟合之间的Kolmogorov-Smirnov距离D
0.061
>fit = powerlaw.Fit(data, xmin = 1.0) #指定x_min进行幂律拟合
>fit.xmin
1.0
>fit.fixed_xmin
True
>fit.power_law.alpha
1.220
>fit.power_law.D
0.376
>fit = powerlaw.Fit(data, xmin = (250.0, 300.0)) #给定x_min范围
>fit.given_xmin
(250.000, 300.000)
>fit.xmin
272.0
另外，一些领域也希望分布有一个精确的上界x_max，因为有时考虑实际情况一些数据可能超出了理论极限（例如在天体物理学中，速度的分布在光速下可能有一个上限）。powerlaw库同样能满足这部分用户的需求。
>fit = powerlaw.Fit(data, xmax = 10000.0)
>fit.xmax
10000.0
>fit.fixed_xmax
True
图4. 不同的x_min和x_max选择可能导致不同的拟合结果。
这里的x_min和x_max默认使用KS距离D最小的值。然而，这个距离D对分布尾部的差异明显不敏感，而尾部正是幂律的大部分有趣行为发生的地方。可能需要使用其他指标，如Kuiper或AndersonDarling，它们在测量分布之间的距离时给予尾部额外的权重，用户可以根据实际需要进行调整。
>fit = powerlaw.Fit(data, xmin_distance = ‘D’)>fit = powerlaw.Fit(data, xmin_distance = ‘V’)>fit = powerlaw.Fit(data, xmin_distance = ‘Asquare’)
离散与连续数据
为了适合幂律和其他分布的连续形式，数据默认是连续的。然而，许多数据是离散的。离散分布的概率分布不能精确地与连续分布相提并论。离散（整数）分布通过适当的规范化，可以在初始化时指定。不过离散形式的概率分布通常比连续形式更难计算，因此某些操作运行可能会比较慢。
>fit = powerlaw.Fit(data, xmin = 230.0)>fit.discreteFalse>fit = powerlaw.Fit(data, xmin = 230.0, discrete = True)>fit.discreteTrue
与其他分布比较
从创建的Fit对象中，用户可以很容易地访问评估长尾分布所需的所有统计分析。Fit对象也能适用于其他可能的分布形式。每个分布都有适合该分布的最佳参数，可通过参数名称或更通用的“parameter1”访问。
>fit.power_law.alpha
2.273
>fit.power_law.parameter1
2.273
>fit.power_law.parameter1_name
>fit.lognormal.mu
0.154
>fit.lognormal.parameter1_name
‘mu’
>fit.lognormal.parameter2_name
‘sigma’
>fit.lognormal.parameter3_name = = None
True
另外，得到参数之后还需要评价哪个分布优度更好。每个分布的拟合优度可以考虑单独或通过相互比较得到（这里使用KS 检验和对数似然比来确定）。比如下方代码直接对比幂律分布和指数分布的拟合效果。返回得到的R是两个候选分布之间的对数似然比，如果数据更有可能在第一个分布中，这个数字将为正，如果数据更有可能在第二个分布中，这个数字将为负。p是显著性指标。
>R, p = fit.distribution_compare(‘power_law’, ‘exponential’,
normalized_ratio = True)
>print R, p
16.384 0.024 #幂律分布比指数分布更优
一般认为，指数分布是长尾分布中绝对最小备选。因此，如果当下结果并不比指数分布更适合，就根本没有理由考虑其他的长尾分布，更别说幂律分布了。fit对象的fit.supported_distribution中支持的分布列表包括：幂律、截断幂律、指数、对数正态、威布尔和伽马分布。distribution_compare可以使用这些分布中的任何一个。
胡一冰 | 作者
邓一雪 | 编辑
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