看点 作很多孩子乘法口诀背的很熟，计算做的很溜，但对所学的概念却不理解，毕竟概念理解不是靠背诵能完成。两个孩子的“数学奶爸”夏骏轶认为，让孩子在好奇心的驱使下，陪他一起进行数学冒险，而不是刻板的死记硬背，才有助于培养他的独立思考能力，也才能让他更好地理解数学的概念。下文中，他分享实际生活经历和例题，与大家介绍了了独立思考能力该如何培养，以及如何通过“提问”，引发孩子的好奇心。
文丨夏骏轶 编辑丨李臻
一次探险引发的思考
上个周末带二宝出去逛，走过漕溪公园附近，有一排沿街商铺，台阶很高，从台阶可以走上一个挺宽的平台，如果要从平台下来，要不走前面的楼梯，要不倒退走后面的楼梯，再者就干脆从平台上跳下来。
这对于一个环境探索症重度患者的4岁男娃来说，简直就是一场美好的大冒险。平台有些高，他不敢跳，于是，他让我在平台中间等着，然后从后边楼梯爬上去，跑过平台，扒着我的脖子滑下来，往前面跑，再上楼梯，循环往复，不亦乐乎。
当我们走到街道拐角，这排商铺到了尽头，前面不再有楼梯，于是他想让我过去充当人肉梯子，我满脸坏笑说：“爸爸累了，抱不动你，你想办法自己下来。”
他有点楞神，表情好像在说：“你怎么能不按套路出牌呢？”我向他挤眉弄眼，意思是说：“小子，考验你的时候到了，快动动脑筋。”
他走到平台边看了看，想爬下来，最后还是没敢，又往后看了看，楼梯距离有些远，再往前看，因为接近拐角有两根柱子，挡住了视线，啥都看不见。我心里在默默嘀咕：“这小子到底会做什么样的选择呢？”
结果我还没来得及转念，他就往拐角方向跑过去。我在平台下面跟着他走，绕过柱子一转弯，这家伙已经跑到平台下面来了，兴冲冲的扑过来，抱住了我的腿。原来，拐过柱子，前面就有一个新的台阶。我抱起他问：“你为什么要选择往前面走啊？难道你知道前面有楼梯吗？”他一副理所当然的口气：“我不知道啊，所以才跑过去看看呗！”
一件小小的亲子事件，让我想起一个著名的心理学实验：
心理学家设置一个螺旋形栅栏。将食物放在栅栏的中心处，让一些动物从外向内寻找。由于动物沿着栅栏的通道向中心步步靠近，大多数动物都能找到食物。
但如果将动物放在栅栏的中心处，把食物放在栅栏的出口处，由于动物由内向外走的时候，看着食物忽远忽近，就搞不明白为了接近目标需要暂时远离目标，所以会在靠近食物的栅栏通道处徘徊不已，不肯“离去”，结果找不到食物。
有的时候，我们人并不比动物强多少，惯性思维使我们本能的排斥思维方式的改变，固执己见，这是一方面。但是人类有一个非常棒的天赋，就是好奇心。好奇心使得我们乐于探索世界，发现新的事物，也使得我们得以对抗旧思维，学习新方法，这是另一方面。
在之前的文章中我就谈到，要用人文视角去看儿童数学启蒙，其中有一个观点是在启蒙中发展孩子的独立思考能力，有不少家长给予反馈：孩子的思维很多时候都在原地打转，有时甚至还会倒退，独立思考很难培养。
其实，独立思考也好，数学思维也罢，建构性教学的轨迹，都不是一条直线，而是螺旋上升。很多时候远即时近，慢即是快。
学好数学，需要“远行冒险”
所谓远行，就是不走直路，走弯路。
我们在学习中，往往有一种心态——寻找捷径，致力于少走弯路。对于为了获得某种结论的学习而言，走直线自然是最经济的做法，但对于以思维培养为目标的学习，走走弯路，往往效果来的更好。
举一个小例子，现在孩子学乘法第一步做什么？背乘法口诀是吧。这和我们小时候学习区别不大，甚至和我们父辈学习乘法，也相差不远。背乘法口诀就是一条直路，它以最快的速度，帮助我们掌握乘法，但是，这是能取得最好效果的学习方法吗？不一定。
快不等于好。
很多孩子乘法口诀背的很熟，计算做的很溜，但对乘法的概念却不理解，毕竟对概念的理解不是依靠背诵能完成的。，正如远行的风景能帮助我们自然而然地，更深刻了解什么是人生一样，让孩子在好奇心的驱使下，陪着他一起进行数学冒险，才有助于培养他的独立思考能力，也才能让他更好地理解数学的概念。
以乘法的概念为例，来体验一下数学的冒险之旅。
如果让孩子做一做他们已经非常熟悉的加法：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，有人会说：用高斯算法很容易就算出来了。没错，但是既然是远行，就不适合用现成的方法，我们可以请孩子们画下来。
现在我们有了一个三角形，底边是9，高也是9，我们可以请孩子把这个三角形变成一个长方形吗？
孩子们可能从来没有想过，还有这样的玩法，没有关系，这本来就是一次没有风险的冒险，想怎么玩就怎么玩，但是有一点很重要，我们需要做好一些记录，比如这样：
我们也可以提示孩子，让小石头从山顶滚下来，不管怎么样，最重要就是一家人整整齐齐，最后我们从这样的“三角形”变成了“长方形”。
好了，我们现在有了一个长方形，这下是不是很容易就数清有几块小石子了？或许有些家长很机智地发现，这其实就是5×9哈，但是别着急，既然是远行，就让我们多看一下风景，不要让旅程枯燥。
从上面的记录，我们可以和孩子一起思考：是否有些数字可以摆成一个方形，但是不是所有数字都能摆成方形呢？这样的问题引发的好奇心可以推动孩子继续探索的路边风光。
我们先拿1到10试试看，这回我们换成小方块。
有点奇怪，1、2、3这三个数好像都只能摆成这样扁扁的长方形，试试看4吧。
果然，4可以摆出两种样子的方形，我们可以记录下来，（2，2）和（1，4）。
之后的数字：
5有一种（1，5），
6有二种（2，3）和（1，6），
7有一种（1，7），
8有二种（2，4）和（1，8），
9有二种（3，3）和（1，9），
10有二种（2，5）和（1，10）。
11有……
依次往下，一场伟大的冒险开始了，让我们看看最后形成的“旅行地图”会是什么样的。
（为了孩子便于理解，可以用这些不同数字的方形图贴在大表格中，每个数字都尝试一下，最后就形成了“旅行地图”。）
这个乘法表有别于我们常识中的99乘法表，蒙氏数学中用过，可汗学院也提到过，关键是，或许我们可能要花很长时间才能完成这次“探索旅程”，但是最后，当我们探索完1-81的数字后，回过头看我们来时的路，可能会有很多的收获：
1、理解了乘法其实就是矩形，两者可以互相转换，为以后学习图形面积奠定了基础；
2、明晰了乘法的分组概念，在这个表内任意一个数字（比如35）都能转化为一个具体的矩形，分组形态一目了然；
3、建立了良好的乘法模型，理解了乘法本质上是一种二维思考模式，乘法的确比加法更简便，除法与乘法是互逆的。
4、熟练了部分与整体思维，进而能帮助孩子理解数量关系应用题；
5、感知和体验了质数和因数的初步经验，对数的概念会有更深的了解。
然后，我们可以把这张表继续扩大到12×12，14×14，甚至19×19，也可以继续“远行”，比如找找表当中哪一个数字出现的次数最多，从乘法的角度理解为啥32比25大了7等等
除此以外，这样的“远行冒险”还有很多，比如在竖式计算中，我们都知道从低位开始计算，这是“捷径”，那么“远行”就是：“竖式计算能不能从高位算起？”
再比如，我们知道图形的内角和，三角形180º，四边形360º，五边形540º，这是“捷径”。那么“冒险”就是“多边形的外角和是多少呢？”
在这一系列的活动中，我们并没有背诵任何口诀，而是通过提问，引发孩子的好奇心，从而推动孩子的探索和发现之旅。而主动探索之下，孩子们养成真正的主动思考习惯，才是思维“远行”的价值所在。
我们不能怪孩子没有独立思考的能力，因为很多时候，他们并没有思考的自由。远行需要花费更多的时间、精力和资源，但是与被浪费掉的生命而言，远行实在是性价比非常高的学习方法。数学本身足够美丽，让孩子把时间浪费在美好的事物上吧。
学好数学，需要进行创造
除了在好奇心的驱使下，让孩子进行更多的自主探索以外，数学的独立思考能力培养，还在于帮助孩子认识到数学的本质是一种有序的创造。
18世纪维科有一个著名的命题——“真理即创造之物，创造之物即真理。”他认为由于数学完全是人构筑起来的知识体系，所以（对于人而言）其真实可靠性最值得期待。
这个观点是有一点的争议，因为一般情况下，大家都会认为数学更接近于发现一种规律模式的思维状态，就好像无理数本来就在那里，数学家有幸找到了它。
但是从另一个方面，数学是一种语言，对客观世界进行着表征和述说，在这个视角，数学的创造属性展露无遗——创造一种高效而简洁的范式来表达世界，数位计数系统、方程、解析几何、微积分都是人类数学史上的伟大发明。
那么从数学启蒙教育来讲，认识发生论认为：“儿童的数学不是教会的，而是自己“发明”的”，皮亚杰的意思是说：孩子对数学的知识理解，不是简单的复制，而是认知结构主动建构、重组、改造的过程，这些知识的获得不是来自成人的直接教授，而是来自对数学经验的操作。
比如说，我们最常见的数字符号：1、2、3、4、5……9，在我们初次向孩子展示的时候，孩子往往都是从字符的表象来看待数字的，但是这并不是数学，我们希望的是孩子能够理解符号背后的想法。
所以我们可以用“远行”的思路，向孩子展现不同文化下的数字符号，文化本身只是一个方面，更重要的通过文化现象引导孩子去关注背后趋于一致的人类智慧——每一个符号代表了一种量的多少，以及数位和10以上的计数是怎么一回事。
也可以用“创造”的思路，让孩子自己发明数字符号，从而探索数字记录系统，比如：
孩子只有在能用自己发明方法去表达数学思想时，才能说他真正弄懂了，这个过程本质上是一种创造的过程，我们称为表征。除了简单的数字符号表征外，创造模式也能在帮助孩子理解各种数量关系，以及运算和应用题学习上，发挥很大的作用。
创造的过程，就是伟大的想象力和理性的交融。
新加坡数学教育强盛一时的秘密武器——数学建模，纠其本质，也同样运用了数学语言的自我创造策略。
在持续的探索中我们会不断地提出问题，这让我们深入地思考和学习。而探索思考多了，一定会有创造性的思维迸发，在尝试的过程中，之前探索的结论得到了不断的验证，所以创造和探索是分不开的。探索是归纳思维，创造是演绎思维，是独立思考发展的一对翅膀。
独立思考的“按钮”
学好数学需要在“冒险”和“创造”中构建孩子的独立思考能力，而开启这一过程的“按钮”正是孩子被激发出的好奇心。然而孩子们最珍贵的好奇心，恰恰也最容易受到破坏。
有时候，成年人对孩子没完没了的问题没有耐心，也没有意愿探究孩子的问题可能代表的实质含义，这实在是“寒了孩子的好奇心”呀。可以说，提出问题是孩子好奇心的最初也是非常重要的表现。
保罗·拉克哈特是布朗大学的数学教授，他曾自愿到纽约布鲁克林的圣安学校（St. Ann’s School）教导K-12的数学课，希望能带给孩子们数学的美感，和充满想像力的一面。他在《一个数学家的叹息》一书中说到：“数学其实是原始的创造力和美学的感受力。”又说：“数学不是遵循指示，而是要创造出新的方向。”
他觉得，现在学校里的数学，最主要的问题出在没有“问题”，没有那些能够引发孩子思考的“问题”。这种情况在我看来，还有另一个变式，就是引发思考的问题太多，以至于孩子没有时间和空间思考。这两种表现其实是一种情况，用保罗的话来说：“这样学习数学是很可悲的，人类被成了训练有素的黑猩猩。”
诸如像： “这里有一个题型。这里是解答它的方法。这个会出现在考试里。今天的家庭作业是习题1-35 题。”这样无须动脑的反刍公式和演算，都不是真正的问题。一个真正符合人类天性的提问应该是例如：“质数是无止尽的吗？”“无限大是一个数字吗？”“在一个平面上用对称的方式铺磁砖的方法有多少种？”之类。
总之，一个好的问题应当：
1、开放而非封闭；
2、有趣，引发好奇，并能持续推动探索；
3、激发我们提出新的有趣问题。
那么，这样的问题，对孩子数学的独立思考有什么帮助呢？
《解决问题》一书的作者波利亚曾说：“对自己提出问题是解决问题的开始。”长久以来，我们一直把“解决问题”放在孩子数学或思维能力培养的核心地位，但实际上，在此之前，我们先要帮助孩子认识“什么是问题？”，然后是“发现问题、提出问题”，最后才是和“解决问题”。
鼓励孩子提出自己的问题，意味着点燃了独立思考的第一把火，也是他们思维“远行”或“创造”的首推力。我们不要嫌孩子提出的问题幼稚，我们都从婴孩成长起来，也都曾经问过同样的问题：“这是什么？”“这是怎么发生的？”以及“为什么？”并且提出这样问题的能力，在我们长大以后显得尤为珍贵。
同时，我们也不要害怕孩子绕行远路，绕行远路就是真实的思考——自己猜测与发现、尝试错误、经历创造性的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明等等。而他们在冒险中艰难跋涉的每一步，都不会白费，都将成为他们人生必要之经验。
保护好孩子的好奇心，对于客观世界，对于抽象世界，都是同样重要的。好奇心让我们产生想法，正如高斯曾经说过的：“我们需要的是想法，不是符号。”（What we need are notions，not notations），
而用好奇心构建的独立思考力，是孩子学习数学的核心燃料！
在本文结束之前，问大家一个好玩的问题，希望对我们“冰封”已久的数学好奇心，能有小小的“化冻”作用：
我们都知道圆形面积公式是πr²,而我们在推导公式时，会用到下面这样的“切西瓜片”策略。那么我的问题是，有没有其他的方式来解释圆形面积的计算，请使用小学生能听懂的语言，想出来后可以和你的孩子一起分享。