前段时间不是孩子的期末测评嘛，老师针对孩子的能力给了一个非常详细的评估，我之前和大家聊过语言发展，然后提炼了学龄前阅读策略的培养重点，但其实还有一个部分，也让我这段时间一直反复在思考，主题是关于孩子的算数策略。
老师的报告里提到一点，Joshua的数学计数可以计算到100以上，并且可以运用一些数学策略，来进行算数统计。
Joshua is a strong mathematician.He accurately recognizes and writes numbers beyond 20 and fluently counts over 100. He can accurately count a set of objects greater than 10 usingadvanced counting strategies, such as counting by twos.
△数学计数的分值，4和ES都是最高分
坦白说，这几年来观察孩子的数学表现，感觉还是蛮有趣的。最开始看到Joshua能够去算1～10，是他三岁的时候。当时数学课上幼儿园老师教了孩子们用手指来计算数字，这是特别简单的一种方法。
简易的手指数数，让孩子可以在思考计数的时候摊开双手，左手和右手都代表平行排列的数字，作为1～10的排列。
坦白说，最开始看到Joshua用手指计数的时候，我是有点忐忑的。大家都知道，我们小时候的数学教学模式，最忌讳的可能就是手指算数了。如果发现孩子用手指来数数，老师总是会说，“上课不认真听，数什么数，打手！”，还有就是各式各样的公式口诀表，不管学什么还是得先背公式，我们才算是在学数学。
所以基于这样的经历，我最开始是迷茫的是，老师教数学，却让孩子数手指，到底对不对？那段时间看了很多的文献资料，以及研究了新加坡的教材体系后，发现了一些我们传统认知上的误区，也让我换了一个视角，重新去看“数手指”这件事情。
01手指计数是数学的视觉辅助工具
相比用心算来加减数字的思维模式，手指计数是“视觉学习”（visual learning）的一种方式，是孩子学习数学的视觉辅助工具之一。当小孩子用他或她的手指（或其他合适的物体）来表示数量的时候，并不意味着这个孩子的数学能力，比另一个能做心算的孩子差。
视觉学习的辅助工具除了数手指之外，数苹果、数牙签、或者画图形都算。当孩子可以使用这些元素来计数，其实也是在孩子的数学思维培养方面，创造了一座桥梁，让孩子可以更好地从初级思维（得益于亲身的感觉运动体验）过渡到更抽象的思维。
举个很简单的例子，我们可能都会有所体会。如果我们只是问孩子1+1=？，这对于孩子来说是抽象的概念，但如果我们换一个说法，“你现在有1个苹果，妈妈再给你一个苹果，你现在手上有多少苹果呢？”那么孩子回答“2个苹果”的概率就会高很多，这个思维讨论的方式，其实也是实物来作为数学思维桥梁的体现。
学龄前孩子的视觉学习能力的重要性，已经在很多国家的教学体系上得到了支持。比如新加坡的特色教学方式叫“CPA教学法”，主要起源于美国教育心理学家、认知心理学家杰罗姆·布鲁纳（Jerome Bruner）的理论。研究指出孩子的学习往往会经历三个阶段，分别是：
- C - Concrete 具象化
- P - Pictorial 形象化
- A - Abstract 抽象化
具象化（Concrete）指的是我们数学启蒙过程中，用实实在在的东西来作为例子，比如下面这个列表，孩子知道“6等于6个豆子”。
之后便是形象化（ Pictorial）的阶段，用图像、方块、柱状体等图示实物或图形形象来代替东西本身，比如下面这个列表，这其实是在帮助孩子搭建一个过渡的桥梁，手指计数便是属于这一阶段孩子会出现的计数方式。
最后才是数字的抽象化学习（Abstract），就是了解原来一个数字“6”，不仅仅代表一个图形形象，也可以代表一个实物，同时还可以进行拆分和组合。
CPA教学法”所强调的是循序渐进，孩子学习的过程整体来说进度是缓慢的，不能一蹴而就，所以最开始的教学方式，得首选直观的、能帮助孩子理解的方式，好处是可以降低孩子学习数学的难度，不至于让孩子因为死记硬背最后厌恶数学、不愿意走进数学。
所以如果刻意阻止孩子用手指来计数，后果同样是很明显的。美国著名私立研究型大学西北大学（Northwestern University）2016年的研究数据也同样指出：
无论是从行为证据还是神经科学的研究层面，都表明当人们接受了关于手指的感知觉训练的时候，会更有利于提高数学成就，反之当我们遏制这功能的使用，我们实际上是阻碍了大脑神经学的锻炼，也降低了孩子可能会更聪明的可能性。
02手指计数不是万能的
我们对手指计数最大的争议点在于运算速度，诚然手指计数不是万能的计算方式，研究中也认可的一点，如果一个孩子到了三四年级，若主要还是用手指来计数，的确是其数学能力还不够成熟的表现。
那么是不是孩子除了手指计数之外，就得去学习心算和公式运算呢？答案也同样是否定的。基于这布鲁纳的研究，新加坡提出了一个“绘图模型法”（model drawing）的教学概念，针对低幼孩子的数学基础教育思维的培养方式，通过把抽象的数学换成具体的图像，来帮助孩子思考和计算。
举个很简单的例子，绘图模型法其实也就三个步骤：利用实物->画图->运用符号。比如当我们去看《新加坡数学教材》的其中一道题便可以很鲜明地理解：
《新加坡数学教材》（幼儿园专册）
在第一道题里，当我们问孩子“2+1=？”的时候，我们可以这么做：
步骤一：利用实物，在孩子面前摆出2个苹果；步骤二：画图，把苹果形象画在纸上；步骤三：在苹果下面列出公式“ 2 apples”，“add 1 more” ，最后在方框里，观察孩子能否写出“3”。
他其实也在教孩子去学习一个抽象的公式，但是却不是让孩子去背诵这个答案，而是通过一个又一个的步骤，把思维方式告诉给孩子听，这便是“解题过程”。
再比如我们去思考总分关系的时候，我们可以通过思维导图的方式去把“绘图模型”描述出来，比如下面这个图：
△ 《新加坡数学教材》（K1）
以及教材对于解题思路的阐释，这便是Number Bonds：
△ 《新加坡数学教材》（一年级专册）
所以从这些推理的过程，Joshua学习到的解题思路，也运用了上面这三个步骤去实现的，他同时还加上了手指来辅助，确保这个答案的推理结果是准确无误的。
03生活中运用需要注意什么？
那么在生活中，我们如何更好地运用“绘图模型法”，来帮助孩子开拓更多的数学思维方式呢？有几点我们同样需要重视：
① 鼓励孩子用更丰富的实物来测量。如果说Joshua 3岁的时候，开始用手指来数数，但是我看着他这几年来，其实同样学到了很多的计数方式，比如老师经常鼓励孩子用测量方块来做类比分析。
用积木图表来思考课室里不同物体之间的长短比，这些都开拓了孩子的思维。
或者运用简易教具来做乘法运算，下图便是方块图和乘法块的运算“4x7=？”的展示过程：
② 重视孩子做假设并且去验证假设的过程。每次跟老师交流评估和测评结果，老师都不是直接打一个数学分数，而是告诉我们孩子在数学思维上的进步，以及探索的过程。
哪怕孩子是数手指计数，这个过程老师所看到的，是孩子如何实际用自己的方法来尝试解决问题的思维方式，而不仅仅只是局限于给出某一个题目的答案。
△ 地上涂鸦讨论彼此的思考过程
看老师的评估和测评，我也可以看到老师明确的鼓励方向：答案很多时候并不是孩子能力的唯一判断标准，孩子数学思维能力的高低关键在于孩子尝试找答案的过程，孩子做了什么假设，并且如何去验证这个假设。
想起“可汗学院”最开始创立的故事，Salman Khan本身就是一个数学天才，但是他发现自己的侄女特别恐惧数学，他在帮助侄女辅导数学的时候发现，孩子脑海中只能记住大量的公式，实际上根本不理解，因为不理解，所以谈不上应用，背对了就能做下去，背错了就抓瞎。
所以Khan通过画图的方式，一点一点去帮助孩子理解每一道公式背后的数学原理，最终才真的帮孩子提高了数学分数。后来Khan也在很多家庭上运用了这套方式，均取得了惊人的数学成绩的改善。
视觉辅助工具教学上的成功，提高了孩子从初级思维过渡到抽象思维更丰富的方式，这也逐渐地让Khan兴起了成立“可汗学院”的心思。
其实手指计数也可以无比复杂，之前TED就用一个视频简明扼要、风趣幽默地告诉给全世界的人知道，即便是用手指计数，我们一样可以做到无穷尽的数学运算。
面对就这么简单的一个手指计数，我们曾经有过很多的不满和批评，但实际上手指计数只是孩子探索世界的一种方式，它并没有那么罪不可赦，更不是穷凶恶极。把手指计数和数学运算割裂出来，反而会阻断了孩子数学视觉学习上的能力，这便是我在这几年里深刻的领悟。
如果你家孩子也到了手指计数的年纪，我们也可以不用像小时候那样地焦虑和紧张了。
我们可以看到孩子数学思维的萌芽，以及想要去解决问题的最初的特征，我们可以帮助并鼓励孩子用更丰富的视觉工具，陪同孩子找到更多的探寻答案的方式，这将更为深远和有用。
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作者萌芽，学龄前家庭教育品牌【小芽启萌】创始人，全球婚姻疗法和情绪训练权威机构约翰戈尔曼的首位中国实习治疗师。 公众号萌芽研究所BUD（ID：myyjs_bud）专注于早教启蒙和亲子沟通，是百万妈妈信赖的育儿号。